Bernoulli DGL lösen

31.07.2013, 22:03

Zeberuus

Bernoulli DGL lösen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier schon seid gestern ein Problem und komme mit einer Aufgabe nicht weiter ich hoffe ihr könnt mir Hilfestellung/Hinweise geben.

also ich soll $\begin{eqnarray*} 3y^{2}y"+y^{3}= t+1 \end{eqnarray*}$
lösen und habe auch ein AWP gegeben, dass tut aber erstmal nichts zur Sache. Die " sollen einfache Ableitungen darstellen!!!!!!! Ich hab das richtige Zeichen nicht gefunden

Meine Ideen:
Also ich schreibe hier mal auf wie ich bisher gerechnet habe, obwohl ich natürlich weiß, dass es nicht ganz richtig sein kann smile

also ich habe nach der Substitution (hier nur das fertig umgeformte)

$\begin{eqnarray*} u"+u=(t+1) \end{eqnarray*}$

bis zur homogenen Lösung denk ich alles richtig gemacht und erhalte: (// u=y^3 )
$\begin{eqnarray*} u = Ce^{-t} \end{eqnarray*}$

so alles kein Problem, aber bei der pratikulären Lsg. klappts nicht so ganz smile

$\begin{eqnarray*} u_{p} = Ce^{-t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u"_{p} = C"e^{-t} - Ce^{-t} \end{eqnarray*}$

setze ich oben ein um c zu erhalten, steht dann da:
$\begin{eqnarray*} C"e^{-t}=(t+1) \end{eqnarray*}$
und schließlich
$\begin{eqnarray*} C=(t+1)e^{t}-e^{t} \end{eqnarray*}$

liegt mein Fehler bei letzten Schritt`?????
Danke euch schonmal im Voraus für eure Mühen!

31.07.2013, 22:32

Che Netzer

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RE: Bernoulli DGL lösen
Geht es um $\begin{eqnarray*} 3y^2y'+y^3=t+1 \end{eqnarray*}$ ?
Das ist dann aber keine lineare DGL.
Und wo ist der Term $\begin{eqnarray*} 3y^2 \end{eqnarray*}$ in deiner Rechnung geblieben?

Jedenfalls wäre eine Substitution am sinnvollsten. Mit einer Bernoulli-DGL hat das nichts zu tun.

PS: Für Ableitungen benutzt man den Strich ' über # neben der Enter-Taste.

31.07.2013, 23:02

Zeberuus

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RE: Bernoulli DGL lösen
Ich habe $\begin{eqnarray*} 3y^{2}y'+y^{3}= t+1 \end{eqnarray*}$

so umgeformt, dass das wie folgt da steht
$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y^{-2}} + \frac{1}{3} \frac{1}{y^{-3}}= \frac{1}{3} (t+1) \end{eqnarray*}$
nun kann ich $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{y^{-3}} \end{eqnarray*}$ substituieren
und habe $\begin{eqnarray*} u'=3y^{2}*y' \end{eqnarray*}$ und das setze ich alles in meine ursprüngliche DGL

die dann lautet: $\begin{eqnarray*} \frac{u'}{3}+\frac{1}{3}*u=\frac{1}{3} (t+1) \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 23:05

Che Netzer

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RE: Bernoulli DGL lösen
Also $\begin{eqnarray*} u=y^3 \end{eqnarray*}$ .
Darauf kann man auch direkt kommen, wenn man $\begin{eqnarray*} 3y^2y'=(y^3)' \end{eqnarray*}$ sieht Augenzwinkern

D.h. die DGL lautet
$\begin{eqnarray*} (y^3)'+y^3=t+1\,. \end{eqnarray*}$
Und
$\begin{eqnarray*} u'+u=t+1 \end{eqnarray*}$
kannst du lösen, oder?

31.07.2013, 23:57

Zeberuus

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RE: Bernoulli DGL lösen
mmh ich hab es doch oben gelöst?! p(t)-Glied gleich null gesetzt und dann homogene Lösung bestimmt.
Und danach kam ich nicht weiter

01.08.2013, 06:59

Che Netzer

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RE: Bernoulli DGL lösen
Statt der Variation der Konstanten empfehle ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} u=at+b \end{eqnarray*}$ für eine inhomogene Lösung.
Aber wieso bist du eigentlich der Meinung, einen Fehler gemacht zu haben?

01.08.2013, 08:45

Zeberuus

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RE: Bernoulli DGL lösen
Okay vielen Dank.

naja meine Lösung ist (auch nach Umformung) nicht die Institutslösung.
Ich geh halt davon aus, dass die das richtig gemacht haben.
Ich guck mir das einfach nochmal an, meist sind es ja nur kleine Fehler, die dann zum großen GAU führen smile

.
Danke auf jedenfall für die Antworten!

01.08.2013, 15:22

Che Netzer

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RE: Bernoulli DGL lösen

Zitat:

Original von Zeberuus
naja meine Lösung ist (auch nach Umformung) nicht die Institutslösung.

Mit "Umformung" meinst du die Rücksubstitution?
Und was ist denn die Musterlösung?

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