Konvergenz einer Reihe

31.07.2013, 23:46

Xbf

Konvergenz einer Reihe

Hallo,
ich möchte diese Reihe auf Konvergenz untersuchen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ .
Durch $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ sieht das für mich so aus, als ob es am besten mit dem Leibniz-Kriterium geht. Dafür muss $\begin{eqnarray*} a_n=-\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein. Das habe bereits gezeigt.
Jetzt muss ich noch zeigen, dass die Reihe monton fallend ist. Dafür muss gelten: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n\leq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2}\cdot\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}\leq(-1)^{n+1}\cdot\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$

Ich habe das schon sehr oft umgeformt, aber bekomme nichts anstäniges dabei raus. Die letzte Umformung, sah so aus:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2}\cdot\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}-(-1)^{n+1}\cdot\frac{n^4}{3^n}=\frac{-(-1)^n(n+1)^4+(-1)^n\cdot 3n^4}{3^n\cdot 3} \end{eqnarray*}$
Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß
Xbf

31.07.2013, 23:53

dastrian

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RE: Konvergenz einer Reihe
Du hast beim Übertrüfen des monotonen Fallens aus Versehen die (-1)^(n-1) zur Folge a_n gehörig gewählt, das ist es (laut deiner eigenen richtigen Aussage) aber gar nicht!

01.08.2013, 00:08

yahuu14

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Konvergiert die nicht sogar absolut ? Bin ja auch relativ viel am üben in Sachen Reihen.

(-1)^{n+1} * (n^4)/(3^n) dem Betrage nach (Majorantenkrit.) kleiner gleich (n^4)/(3^n).

Wurzelkriterium liefert 1/3 <-> absolut konvergent ?

01.08.2013, 00:10

dastrian

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Stimmt!

01.08.2013, 00:11

Xbf

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Dankeschön!

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} -\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}+\frac{n^4}{3^n}=-\frac{4n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{3^n\cdot 3} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, folgt: $\begin{eqnarray*} -(4n^4+4n^3+6n^2+4n+1)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^n\cdot 3>0 \end{eqnarray*}$

Also ist: $\begin{eqnarray*} -\frac{4n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{3^n\cdot 3}<0 \end{eqnarray*}$ .

Reicht das so?

01.08.2013, 08:41

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Xbf
Durch $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ sieht das für mich so aus, als ob es am besten mit dem Leibniz-Kriterium geht. Dafür muss $\begin{eqnarray*} a_n=-\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein.

Für das Leibniz-Kriterium hast du das falsche a_n gewählt. a_n muß eine positive monoton fallende Nullfolge sein.

Aber warum nimmst du nicht das schon genannte Wurzelkriterium oder auch das Quotientenkriterium?

01.08.2013, 12:14

Xbf

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Weil es eine alternierende Reihe ist, dachte ich, dass es am besten mit dem Leibniz-Kriterium geht.
Was wäre denn das richtige $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Weil $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n^4}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n}\cdot(-1)\frac{n^4}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n}\cdot(-\frac{n^4}{3^n}) \end{eqnarray*}$

Ich kann ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ da stehen lassen und $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ wählen.

01.08.2013, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Xbf
Ich kann ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ da stehen lassen und $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ wählen.

Natürlich kannst du. Schreibe einfach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n} \cdot (-\frac{n^4}{3^n}) = (-1) \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n} \cdot \frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$ . smile

Insofern ist es auch - was die Konvergenz betrifft - egal, ob du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot a_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_n \end{eqnarray*}$ da stehen hast.

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