Lineares Gleichungssystem lösen (+ Basis)

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MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem lösen (+ Basis)
Guten Tag.

Aufgabe:

[attach]31116[/attach]

Ich soll also die Werte für x1,x2,.. etc. bestimmen, das habe ich verstanden.
Aber was ist mit Basis gemeint?

Ist es vielleicht so, dass eine Variable überflüssig ist?

Also den Begriff Basis habe ich verstanden, aber nur im Zusammenhang mit Vektoräumen und Vektoren. Wie ist das hier bei einem Gleichungssystem zu verstehen?

Vielen Dank Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem lösen (+ Basis)
Da solltest du vielleicht doch mal in die entsprechende Vorlesung gehen. Augenzwinkern
Der Lösungsraum eines homogenen GLS ist ein Untervektorraum und hat mithin eine Basis.
Yahuu14 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, wurde mein Post gelöscht oder irre ich mich? Oo

Naja, was ich sagen wollte. Das Homogene LGS ist der Kern einer Linearen Abbildung. Und der Kern ist bekanntlich ein Untervektorraum. Eine Basis kannst du dann von der Lösungsmenge herauslesen/bilden.
Yahuu14 Auf diesen Beitrag antworten »

Pardon: Die Lösungsmenge des HLGS ist der Kern!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, warum mein Beitrag noch einer Ergänzung bedurfte. verwirrt
Yahuu14 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich finde es schon wichtig den Kern zu erwähnen. Und zu sagen das der Kern eine Basis hat.
 
 
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bringe das ganze erstmal in Matrixform und wende dann das Gauß-Verfahren an.

Aber kurze Zwischenfrage, wie kann es sein, dass ich mehr Unbekannte als Gleichungen habe?
Yahuu14 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ein Widerspruch vorhanden so hat das LGS keine Lösung. Ansonsten kannst du dir Nullzeilen hinzudenken wenn dir das helfen sollte
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Yahuu14 und vielen Dank, dass du mir hilfst smile

Boah, ich kann dieses blöde Gleichungssystem einfach nicht lösen.

Ich kann jetzt diese Werte aus der Matrix ablesen:

x_2 = 2

-x_5 -x_4 +3x_2 = 5

-x_1 +x_3 -3x_5 -x_4 +2x_2 = 2

Kann man damit etwas anfangen, oder muss ich nochmal Gauß von vorne anwenden?

Danke smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest erstmal das homogene GLS lösen. Und bitte auch ordentlich das Gauß-Verfahren anwenden.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit smile

Vorweg nochmal eine einfachere Beispielaufgabe:

[attach]31117[/attach]

Hier ist meine Lösung:

[attach]31118[/attach]

Ist das so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich halte ich das Vertauschen von Spalten für ungeeignet, weil man dann nachhalten muß, für welche Variable eine Spalte zuständig ist. Aber nun gut. Aus deiner letzten Matrix kannst du nun eine Basis des Kerns bestimmen. Dazu mußt du raussuchen, was die freie(n) Variable(n) ist/sind.

Hier mal die Ausgangsmatrix mit Latex:

MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hey klarsoweit smile

Aus meiner letzten Matrix kann ich also diese Gleichungen ablesen:

I. ->

II.

III.

Nun kann ich den Wert von x_4 bestimmen, indem ich rechne:

->

Den Wert kann ich nun in III. einsetzen und erhalte:

IV.

IV + I: ->

Damit ist die Lösungsmenge der Matrix:



x_1, x_3, x_4 sind freie Variablen und x_2 gebunden?

Eine Basis des Lösungsraums wäre:



Ist das was ich gemacht habe, der richtige Ansatz für die Aufgabestellung?
Habe ich etwas vergessen?

Vielen Dank smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
x_1, x_3, x_4 sind freie Variablen und x_2 gebunden?

Nein, es ist gerade umgekehrt: in deiner Lösungsmenge kommt nur noch das x_2 vor, die anderen Variablen gar nicht. Also ist x_2 die einzige freie Variable.

Zitat:
Original von MCarlsen
Ist das was ich gemacht habe, der richtige Ansatz für die Aufgabestellung?

Na ja, für meine Begriffe hältst du dich zu wenig an die übliche Verfahreneweise:
- keine Vertauschung von Spalten vornehmen
- erst das homogene System lösen, dabei regelkonform die freien Variablen erkennen
- Bestimmung einer speziellen Lösung für das inhomogene System
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal klarsoweit und ein liebes Dankeschön für deine tolle Hilfe! smile

Ich habe mich jetzt nochmal an der Ausgangsaufgabe versucht.

Also der hier:
[attach]31116[/attach]

Zitat:
- erst das homogene System lösen, dabei regelkonform die freien Variablen erkennen

Ich habe das homogene Gleichungssystem gelöst.
Und wie erkennt man nun die freien Variablen regelkonform? Sieht man das schon beim Betrachten der Matrix?

Hier mein Ansatz:

[attach]31145[/attach]

Ist die Lösung korrekt?

mfG MCarlsen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
Ich habe das homogene Gleichungssystem gelöst.

Nun ja, wie man leicht nachrechnet, löst keiner deiner 3 Basisvektoren das homogene System.

Zitat:
Original von MCarlsen
Und wie erkennt man nun die freien Variablen regelkonform? Sieht man das schon beim Betrachten der Matrix?

Mit der Beantwortung dieser Frage tut man sich leichter, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun ja, wie man leicht nachrechnet, löst keiner deiner 3 Basisvektoren das homogene System.

Oh, das ist schade. Komischerweise sehe ich keinen Fehler bei meinem Gauß-Verfahren..
Vielleicht ein Fehler bei der Bestimmung der freien Variablen...

Zitat:
Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.


Das habe ich nicht verstanden.
Wie ist denn die Reihenfolge? Liest man von links nach rechts?

Und wie genau geht das jetzt. verwirrt
Zum Beispiel für x1. Ich gehe jetzt jede Zeile durch und prüfe was genau?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
Das habe ich nicht verstanden.
Wie ist denn die Reihenfolge? Liest man von links nach rechts?

Ja, von links nach rechts, und zwar jede Zeile.

Zitat:
Original von MCarlsen
Und wie genau geht das jetzt. verwirrt
Zum Beispiel für x1. Ich gehe jetzt jede Zeile durch und prüfe was genau?

Du gehst jede Zeile durch. Jeweils beim ersten Nicht-Null-Element bleibst du stehen und schaust, welcher Variable diese Spalte entspricht --> das ist eine nicht freie Variable.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist meine Matrix in Zeilenstufenform:



Ich gehe also wie vorgeschrieben durch:

1.Zeile: x1 ist das erste nicht Null-Element
2.Zeile: x2 ist das erste nicht Null-Element
3.Zeile: x4 ist das erste nicht Null-Element

Das sind also alle nicht freie Variablen und x3 und x5 sind freie Variablen.

Zitat:
Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten.


3.Zeile: ->
2.Zeile:

Nun muss ich x_5 ja auf 1 setzen, wird es jetzt 4 oder 1?

Erstmal bis hier hin.

Vielen Dank klarsoweit! Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
3.Zeile: ->
2.Zeile:

Besser ist, du bestimmst erstmal die homogenen Lösungen. Also hast du:

3.Zeile: ->
2.Zeile:

Dann mußt du nochmal schauen, woraus die letzte Spalte deiner erweiterten Matrix entstanden ist. War das die komplette rechte Seite oder hattest du vorher die rechte Seite auf die linke Seite gebracht?
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

3.Zeile: ->
2.Zeile: ->
1.Zeile: ->

Zitat:
War das die komplette rechte Seite oder hattest du vorher die rechte Seite auf die linke Seite gebracht?


Ich hatte vorher die rechte Seite auf die linke gebracht. Ich dachte das meinst du mit "löse das homogene Gleichungssystem".

Und wie mache ich nun weiter? Die fehlenden Komponenten habe ich bestimmt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
1.Zeile: ->

Für die 1. Lösung wählen wir x_5 = 1 und x_3 = 0. Also:

Für die 2. Lösung nimmst du dann x_5 = 0 und x_3 = 1 und berechnest wiederum den Rest.

Zitat:
Original von MCarlsen
Zitat:
War das die komplette rechte Seite oder hattest du vorher die rechte Seite auf die linke Seite gebracht?


Ich hatte vorher die rechte Seite auf die linke gebracht. Ich dachte das meinst du mit "löse das homogene Gleichungssystem".

Es dämmert mir immer mehr, daß du überhaupt keine Ahnung von den Begriffen und Verfahren hast und irgendwie die Vorlesung weit an dir vorbei gegangen ist. Das homogene Gleichungssystem erhältst du, indem du die rechte Seite gleich Null setzt.

Zitat:
Original von MCarlsen
Und wie mache ich nun weiter? Die fehlenden Komponenten habe ich bestimmt.

Dann schreibe mal die beiden Lösungen des homogenen Systems hin.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

1.Zeile:
-> 1.Lösung ->
-> 2.Lösung -> ->

Zitat:
Dann schreibe mal die beiden Lösungen des homogenen Systems hin.


Das wären:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du gerechnet hast. Richtig ist:

Die homogenen Lösung sind Übrigens kann man das auch durch Einsetzen ins GLS nachprüfen. Augenzwinkern

Jetzt brauchst du noch eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich weiß jetzt nicht, was du gerechnet hast.


Oh, ich hatte einen Denkfehler. Ich habe für die erste Lösung x_3 = 0 und x_5 = 1 gesetzt und für die zweite Lösung habe ich nur in der 1.Zeile mit x_3 = 1 und x_5 = 0 gerechnet. Ich hätte natürlich auch in der 3. und 2. Zeile mit den Werten rechnen sollen.

Zitat:
Jetzt brauchst du noch eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems.


Dazu setzte ich alle freien Variablen gleich Null und löse einfach auf oder?

Also:
3.Zeile: ->
2.Zeile: ->
1.Zeile: ->

Also:

Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCarlsen
Dazu setzte ich alle freien Variablen gleich Null und löse einfach auf oder?

Ja. Das Problem ist nur, daß du leider in der letzten Spalte die rechte Seite mit verdrehten Vorzeichen eingetragen hast.

Zitat:
Original von MCarlsen
Richtig?

Die Frage kannst du dir selber beantworten, indem du mal deine Lösung in das Gleichungssystem einsetzt.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja. Das Problem ist nur, daß du leider in der letzten Spalte die rechte Seite mit verdrehten Vorzeichen eingetragen hast.


Genau und deswegen löst nicht das in der Aufgabe vorgegebene Gleichungssystem, aber wenn ich die Vorzeichen verdrehe, dann stimmt es wieder smile

Also:



Die Aufgabe lautet ja:

Geben Sie eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems an, und bestimmen Sie sämtliche Lösungen.


Die Antwort für den Teil "sämtliche Lösungen" ist doch:



Aber bilden alle drei Vektoren die Basis?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur die beiden Vektoren, die mit einem Parameter versehen sind, bilden eine Basis und zwar nur von dem Lösungsraum des homogenen Systems. Der Lösungsraum des inhomogenen Systems ist im Allgemeinen kein Vektorraum, sondern ein sogenannter affiner Unterraum.
MCarlsen Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ein wirklich herzliches Dankeschön für deine Geduld und Hilfe klarsoweit! Freude smile

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag Wink
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