Integral

02.08.2013, 16:35	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hallo, habe ein Problem bei: $\begin{eqnarray} \int { \frac { t+3 }{ { t }^{ 2 }+1 } } dt \end{eqnarray}$ Naja meine Idee: $\begin{eqnarray} \int { \frac { 1 }{ { t }^{ 2 }+1 } } dt=arctan (t) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich ja aber noch $\begin{eqnarray} t+3 \end{eqnarray}$ im Nenner stehen. Habe schon viel probiert komme aber nicht auf die Lösung. Habt ihr einen Tipp?
02.08.2013, 16:38	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
der Zähler ist fast die Ableitung des Nenners; die 3 abspalten, arctan stimmt nicht
02.08.2013, 16:39	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Verwende Partialbruchzerlegung EDIT: da ich raus bin, trotzdem noch ein Hinweis: Partialbruchzerlegung ist jetzt nicht mehr nötig, mit der geänderten Aufgabenstellung . Spalte den Ausdruck auf in: Integral (3/(t^2+1) +t/(t^2+1)) dt Dann hast Du 2 einfache Integrale, die zu lösen sind.
02.08.2013, 16:43	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte mich mich beim Vorzeichen vertippt. Mit + müsste es stimmen, oder? Leider weiß ich nicht, wie ich nach euren Tipps vorgehen soll. Haben die noch Bestand nach meinem Tippfehler? Welches Vorgehen bietet sich eher an?
02.08.2013, 16:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{t+3}{t^2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} + 3 \cdot \frac{1}{t^2 + 1} \end{eqnarray}$ Die Zerlegung ist so gewählt, daß beim ersten Summanden der Zähler gerade die Ableitung des Nenners ist. Siehst du, wozu das gut ist?
02.08.2013, 17:04	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es mir ähnlich gedacht glaube ich. $\begin{eqnarray} \int { \frac { t+3 }{ { t }^{ 2 }+1 } } dt=\int { \frac { t }{ { t }^{ 2 }+1 } +\frac { 3 }{ { t }^{ 2 }+1 } dt } \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} u={ t }^{ 2 }+1 \end{eqnarray}$ , dann abgeleitet $\begin{eqnarray} \frac { du }{ dt } =2t\Rightarrow dt=\frac { du }{ 2t } \end{eqnarray}$ Dann habe ich ja für den linken Term: $\begin{eqnarray} \int { \frac { 1 }{ { u } } } \frac { du }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \int { u\quad du=\frac { ln({ t }^{ 2 }+1) }{ 2 } } \end{eqnarray}$ Und für rechts: $\begin{eqnarray} \int { \frac { 3 }{ { t }^{ 2 }+1 } dt=3\int { \frac { 1 }{ { t }^{ 2 }+1 } dt } } =\quad 3\arctan { (t) } \end{eqnarray}$ Was haltet ihr davon?
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02.08.2013, 17:34	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
so gehts auch; aber verstehen was Leopold zeigte solltest Du schon.
03.08.2013, 12:09	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antworten & die Hilfe! Habe mir den Vorteil von Leopolds Vorschlag heute auch erarbeiten können!

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