Problem mit Musterlösung

02.08.2013, 18:01

Naryxus

Problem mit Musterlösung

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem zu einer Musterlösung.

Und zwar ist folgende Aufgabe gestellt:

Gegeben sind zwei beliebige Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ .
Wir sollen zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{x_n^2y_n + y_n^2x_n}{x_n^2 + y_n^2} \end{eqnarray*}$ immer gegen 0 konvergiert.

In der Musterlösung ist nun wie folgt vorgegangen worden:

Es gilt $\begin{eqnarray*} x_n^2|y_n| + y_n^2|x_n| < x_n^2|y_n| + y_n^2|x_n| + |x_n|^3 + |y_n|^3 = (x_n^2 + y_n^2)(|x_n| + |y_n|) \end{eqnarray*}$

Und damit gilt:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |b_n| \leq \frac{x_n^2|y_n| + y_n^2|x_n|}{x_n^2 + y_n^2} \leq \frac{(x_n^2 + y_n^2)(|x_n| + |y_n|)}{x_n^2 + y_n^2} = |x_n| + |y_n| \end{eqnarray*}$

Und da dies nach Voraussetzung Nullfolgen sind, folgt aus dem Sandwichtheorem, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht.

So das war jetzt erstmal der exakte Wortlaut der Musterlösung.

Mein Problem liegt jetzt vor allem in dem Schluss, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht. Weil eigentlich doch nur geschlossen werden kann, dass $\begin{eqnarray*} |b_n| \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht.

Und wir haben in einem anderen Satz nur gegeben, dass aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (b_n) = b \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (|b_n|) = |b| \end{eqnarray*}$ gefolgert werden kann, aber nicht umgekehrt.

Kann mir jemand helfen? Grüße

02.08.2013, 18:08

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem mit Musterlösung

Zitat:

Original von Naryxus
Und wir haben in einem anderen Satz nur gegeben, dass aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (b_n) = b \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (|b_n|) = |b| \end{eqnarray*}$ gefolgert werden kann, aber nicht umgekehrt.

Für b=0 gilt das auch umgekehrt. Einfach mal kurz drüber nachdenken Augenzwinkern

02.08.2013, 18:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} t_n \to 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| t_n \right| \to 0 \end{eqnarray*}$

Das gilt allerdings nur, wenn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist.

Neue Frage »

Antworten »

Problem mit Musterlösung

Verwandte Themen