Komplexe Schreibweise

02.08.2013, 23:21

TruEnemy

Komplexe Schreibweise

Hallo!

Ein elektrisches Feld $\begin{eqnarray*} \vec{E}(z,t) \end{eqnarray*}$ der Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , das sich in z-Richtung ausbreitet und eine Polarisation in y-Richtung besitzt, ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z,t) = \left[E_0\,\cos (\omega t - kz + \phi)\right]\,\vec{e}_y \end{eqnarray*}$

Wie lautet davon nun die komplexe Schreibweise? Ist folgende korrekt, wobei c.c. = komplexe Konjugation des vorangegangenen Ausdrucks:

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z,t) = \frac{1}{2}\left[E_0\,e^{-i(\omega t - kz + \phi)} + \text{c.c.}\right]\,\vec{e}_y \end{eqnarray*}$

Grüße!

03.08.2013, 09:15

ullim

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RE: Komplexe Schreibweise
Hi,

alles ok.

03.08.2013, 10:34

TruEnemy

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Hallo,

und vielen Dank. Stimmt auch die Mitnahme der Phase $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aus dem Cosinus in die e-Funktion der komplexen Schreibweise??

Grüße!

03.08.2013, 11:35

ullim

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Hi,

ja, die Phase must Du auch in den Exponenten der komplexen e-Funktion nehmen. Ich würde allerdings anstelle von c.c, etwas ungewöhnliche Notation für komplex konjugiert, den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} E_0*e^{i\left(\omega{t}-kz+\Phi\right)} \end{eqnarray*}$

bevorzugen. Dann kann man noch

$\begin{eqnarray*} E_0 \end{eqnarray*}$

ausklammern.

03.08.2013, 14:21

Huggy

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RE: Komplexe Schreibweise

Zitat:

Original von TruEnemy
$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z,t) = \left[E_0\,\cos (\omega t - kz + \phi)\right]\,\vec{e}_y \end{eqnarray*}$

Wie lautet davon nun die komplexe Schreibweise?

Die Frage hätte besser ins Physikerboard gehört. Die komplexe Schreibweise der Welle in der Physik ist

$\begin{eqnarray*} \vec{E}_K(z,t) = E_0\,e^{-i(\omega t - kz + \phi)} \vec{e}_y \text { oder } E_0\,e^{i(\omega t - kz + \phi)} \vec{e}_y \end{eqnarray*}$

mit der Interpretation

$\begin{eqnarray*} \vec E (z,t) =\operatorname {Re} (\vec E_K(z,t)) \end{eqnarray*}$

Man schreibt also gerade nicht den reellen cos als Summe zweier komplexen Größen, sondern rechnet mit einer echt komplexen Größe, weshalb ich zur Verdeutlichung den Index K angefügt habe. Bei Bedarf geht man dann zum Realteil über. Die Umschreibung in eine Summe zweier komplexer Größen würde nur alle Formeln verlängern ohne einen Vorteil zu bieten.

05.08.2013, 16:27

TruEnemy

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Im Prinzip ging es mir um die Phase, das ist nun geklärt.

Eine weitere Frage stellt sich mir hierbei: kann ich

$\begin{eqnarray*} |3><1|\,e^{i(\omega_{L1}t + \phi_{L1})} + |3><1|\,e^{-i(\omega_{L1}t + \phi_{L1})} \end{eqnarray*}$

auch verkürzt schreiben bzw. darstellen als

$\begin{eqnarray*} |3><1|\,e^{i(\omega_{L1}t + \phi_{L1})} + \text{c.c.} \end{eqnarray*}$

? Vielen Dank für Eure Hilfe und beste Grüße.

05.08.2013, 18:38

Huggy

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Das sollte richtig sein.
Ich interpretiere das als Tensorprodukt zweier Hilbertraumvektoren multipliziert mit jeweils einem Skalar und sehe keinen Grund, weshalb man das Tensorprodukt nicht sollte ausklammern können.

Da aber meine Erinnerung an die Bra-Ket-Notation und damit verbundene Inhalte mehr als trübe ist, solltest du dich eventuell im Physikerboard rückversichern.

05.08.2013, 20:18

TruEnemy

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Huch, vielen Dank für den Hinweis, da muss noch 'ne Klammer hin:

$\begin{eqnarray*} |3><1|\left(e^{i(\omega_{L1}t + \phi_{L1})} + \text{c.c.}\right) \end{eqnarray*}$

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