Lösung einer Gleichung im Intervall

03.08.2013, 00:55

küb

Lösung einer Gleichung im Intervall

Meine Frage:
Hey Leute,

stimmt meine Überlegung?

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)*e^{x} }{x^{2} -3} = sin (x) \end{eqnarray*}$

mindestens eine Lösung im Intervall [-1, 3/2] besitzt.

Mit Lösung sind doch Nullstellen gemeint, oder?

Ich dachte, dass ich den Zwischenwertsatz anwenden kann:

"Sei i ein Intervall, f: I -> R stetig

Wenn f(a) * f(b) < 0 so hat f im Intervall ]a,b[ mindestens eine Nullstelle.

Ich habe die Gleichung mal umgestellt:

$\begin{eqnarray*} sin(x) * (x^{2} -3) - (x-1)*e^{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich mir die einzelnen Glieder der "Kette" anschauen.

sin(x) ist stetig,
x^2 ist ebenfalls stetig, somit ist auch (x^2)-3 stetig,
x-1 ist stetig
e^x ist auch stetig

Somit ist die gesamte Funktion stetig.

f(-1) = ist positiv
f(3/2) = ist negativ

Somit ist f(-1) * f(3/2) < 0.

Also würde ich schlussfolgern, dass die Gleichung in dem genannten Intervall mind. eine Lösung hat.

Meine Ideen:

03.08.2013, 09:10

ullim

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall
Hi,

das ist alles richtig.

03.08.2013, 09:52

Che Netzer

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall
Aber die Notation ist grauenvoll.

Zitat:

Original von küb
Mit Lösung sind doch Nullstellen gemeint, oder?

Nein, mit Lösungen sind einfach Lösungen gemeint.
Gleichungen haben Lösungen, Funktionen haben Nullstellen.

Zitat:

Somit ist die gesamte Funktion stetig.

Du hast keine Funktion angegeben.

Zitat:

f(-1) = ist positiv
f(3/2) = ist negativ

Das solltest du ggf. nachweisen.
Aber was sollen die Gleichheitszeichen hier?

03.08.2013, 10:18

original

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall

Zitat:

Original von Che Netzer

Aber die Notation ist grauenvoll. Freude

Che Netzer , deine Anmerkungen sind wiedermal super Freude

endlich mal jemand, der das miserable Gesabbere hier anprangert smile

und nicht kommentarlos durchgehen lässt, vonwegen "das ist alles richtig."

@küb
.. und mit genau dem gleichen Vorgehen wirst du zB die Behauptung, dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(x-1)*e^{x} }{x^{2} -3} - sin (x) \end{eqnarray*}$

im Intervall [ - 4 ; - 1,8 ] Nullstellen hat, so nicht verifizieren - oder?

.

03.08.2013, 15:24

küb

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall

Zitat:

Aber die Notation ist grauenvoll.

Danke, dass du nochmal rübergeschaut hast. smile

Zitat:

Nein, mit Lösungen sind einfach Lösungen gemeint.
Gleichungen haben Lösungen, Funktionen haben Nullstellen.

Kann ich dann den Zwischenwertsatz überhaupt anwenden?
Ich kann dann ja nicht mehr f(a) * f(b) schreiben.. Denn was ist f?
Und was heißt dann Lösung? Ist die Lösung einer Gleichung dasselbe wie die Nullstellen einer Funktion?

Zitat:

Du hast keine Funktion angegeben.

Dann kann ich ja meine ganze Überlegung nicht verwenden..
Ich kann ja schlecht sagen, dass die Gleichung stetig ist..

Zitat:

.. und mit genau dem gleichen Vorgehen wirst du zB die Behauptung, dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(x-1)*e^{x} }{x^{2} -3} - sin (x) \end{eqnarray*}$

im Intervall [ - 4 ; - 1,8 ] Nullstellen hat, so nicht verifizieren - oder

Ja, stimmt.. In diesem Intervall klappt meine Idee dann nicht mehr. Da wären ja noch 2 Nullstellen..

Wie muss ich denn dann vorgehen?

03.08.2013, 15:34

Che Netzer

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall
Du definierst dir eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so dass die Nullstellen dieser Funktion gerade die Lösungen der Gleichung sind.
D.h. du stellst deine Gleichung so um, dass auf einer Seite Null steht. Die andere sei mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Dann ist $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\{\pm\sqrt3\} \end{eqnarray*}$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn es eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.
Die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem betrachteten Intervall ist dann zu überprüfen; danach kannst du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch auf den Randpunkten auswerten und dort die Vorzeichen betrachten.

WENN du also zu einer gegebenen Gleichung eine "passende" (s.o.) Funktion definierst, DANN sind Lösungen der Gleichungen gerade Nullstellen der Funktionen.
Im allgemeinen ist eine Lösung einer Gleichung aber ganz einfach eine Lösung der Gleichung.
Eine Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=6 \end{eqnarray*}$ ist ganz einfach eine Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für welche $\begin{eqnarray*} x^2=6 \end{eqnarray*}$ gilt. Nix mit Funktionen.

Und jetzt darfst du den Fehler in folgender Argumentation suchen:
Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac1x=0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ eine Lösung besitzt.
Dazu halten wir fest, dass $\begin{eqnarray*} f\colon x\mapsto\frac1x \end{eqnarray*}$ bekanntlich stetig ist. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(-1)=-1<0<1=f(1) \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ hat.

Ein ähnliches Problem hast du bei der Betrachtung des von original genannten Intervalls.
Dass es mehrere Nullstellen geben kann, stört den Zwischenwertsatz nicht. Der liefert dir ja nur die Existenz (mindestens) einer Nullstelle.

03.08.2013, 15:46

küb

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RE: Lösung einer Gleichung im Intervall
Achso, okay. Habs verstanden.

Und jetzt darfst du den Fehler in folgender Argumentation suchen:
[...] Dazu halten wir fest, dass $\begin{eqnarray*} f\colon x\mapsto\frac1x \end{eqnarray*}$ bekanntlich stetig ist. [/quote]

Aber nicht stetig in x=0.

Zitat:

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(-1)=-1<0<1=f(1) \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ hat.

f hat keine Nullstelle.

Zitat:

Ein ähnliches Problem hast du bei der Betrachtung des von original genannten Intervalls.

Aber in dem Intervall sind doch keine Definitionslücken oder?

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