Aus Mengenring Mengenalgebra machen

02.08.2013, 22:56

Nighel123

Aus Mengenring Mengenalgebra machen

Moin,

Wenn ich einen Mengenring

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}\subset \mathfrak{P}( \Omega ) \end{eqnarray*}$

habe, wobei

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

eine beliebige Menge ist

und

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}( \Omega ) \end{eqnarray*}$

die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} \Omega_m \end{eqnarray*}$ eine aufsteigende Folge mit

$\begin{eqnarray*} \Omega_1 \subset \Omega_2 \subset ... \subset \Omega_m \subset ... \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m=1}^{\infty} \Omega_m=\Omega \end{eqnarray*}$

wieso ist dann

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}_m=: \mathfrak{U} \cap \Omega_m \end{eqnarray*}$

eine Mengenalgebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega_m \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \cap \Omega_m \end{eqnarray*}$ ist doch gleich $\begin{eqnarray*} \left\{ \phi,\Omega_m \right\} \end{eqnarray*}$ Und wenn ich jetzt die Definition für Mengenalgebra nachprüfe, ist das auch eine Mengenalgebra. Aber wozu die Aufwendige Schreibweise, wenn man doch gleich Schreiben könnte

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}_m=\left\{ \phi,\Omega_m \right\} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da einen Fehler gemacht?

Gruß Nickel

03.08.2013, 07:03

Leopold

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RE: Aus Mengenring Mengenalgebra machen

Zitat:

Original von Nighel123
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \cap \Omega_m \end{eqnarray*}$ ist doch gleich $\begin{eqnarray*} \left\{ \phi,\Omega_m \right\} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichheit leuchtet mir nicht ein. verwirrt

Ich sehe nur

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \cap \Omega_m = \left\{ \, U \cap \Omega_m \, \left| \, U \in \mathfrak{U} \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

03.08.2013, 08:19

Nighel123

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Ich versteh noch nicht ganz wie man darauf kommt.

Wenn ich schreibe

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \cap \Omega_m \end{eqnarray*}$

dann ist das doch äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \left\{ x | (x \in \mathfrak{U}) \wedge (x \in \Omega_m) \right\} \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \Omega_m \end{eqnarray*}$ enthält doch gar keine Mengen?

Also muss doch (ich korrigiere mich zum ersten Beitrag)

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \cap \Omega_m= \left\{ x | (x \in \mathfrak{U}) \wedge (x \in \Omega_m) \right\} =\phi \end{eqnarray*}$

sein.

Gruß Nickel

04.08.2013, 10:07

Leopold

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Die Notation ist in der Tat problematisch. Mit $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist hier nicht der Durchschnitt der Mengen $\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega_m \end{eqnarray*}$ gemeint (warum schreibst du bei dieser Interpretation übrigens plötzlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

), sondern die "punktweise" Anwendung von $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ im Mengenring $\begin{eqnarray*} \mathfrak{U} \end{eqnarray*}$ .

Vergleiche etwa mit den Restklassen $\begin{eqnarray*} x+U \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Untervektorraum eines Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist

$\begin{eqnarray*} x+U = \left\{ \, x+u \, \left| \, u \in U \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Und hier:

$\begin{eqnarray*} \Omega_m \cap \mathfrak{U} = \left\{ \, \Omega_m \cap U \, \left| \, U \in \mathfrak{U} \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

So verstehe ich das jedenfalls.

04.08.2013, 10:17

Che Netzer

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Das Beispiel
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=A \end{eqnarray*}$
wurde bereits wegeditiert; das eignet sich aber ganz gut zur Veranschaulichung.
Du hattest dabei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{A\} \end{eqnarray*}$ verwechselt.
Richtig wäre hier
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{A\cap A,B\cap A,C\cap A\}=\{A,B\cap A,C\cap A\}\,. \end{eqnarray*}$

(die Bezeichnung "Restklasse" für Elemente eines Quotientenvektorraumes würde ich übrigens nicht benutzen)

04.08.2013, 10:30

Nighel123

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ahh okay dann macht das ganze natürlich mehr sinn. Danke!

04.08.2013, 11:17

i-was

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Zitat:

Original von Che Netzer
Richtig wäre hier
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{A\cap A,B\cap A,C\cap A\}=\{A,B\cap A,C\cap A\}\,. \end{eqnarray*}$

(die Bezeichnung "Restklasse" für Elemente eines Quotientenvektorraumes würde ich übrigens nicht benutzen)

Bist du sicher, dass das stimmt?
Meiner Meinung nach müsste es
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{B\} \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} B \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{C\} \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} C \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{B,C\} \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} B,C \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{A,B,C\}\cap A=\{\} \end{eqnarray*}$ sonst
heißen.

04.08.2013, 11:22

Che Netzer

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Da benutzt du das Durchschnittszeichen ganz streng nach Definition, wie es hier aber nicht zu verstehen ist.

Wie man es stattdessen interpretieren sollte, hat Leopold bereits erklärt.

04.08.2013, 11:26

i-was

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Okay, danke

04.08.2013, 13:18

Leopold

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Zitat:

Original von Che Netzer
(die Bezeichnung "Restklasse" für Elemente eines Quotientenvektorraumes würde ich übrigens nicht benutzen)

Was würdest du stattdessen sagen? verwirrt

04.08.2013, 13:27

Che Netzer

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Äquivalenzklasse vielleicht.
Insbesondere in konkreten Fällen (wie bei den Lebesgue-Räumen) würde ich die aber gar nicht als Äquivalenzklassen/Mengen, sondern einfach als "normale Vektoren" ansehen.

Restklassen jedenfalls gehören für mich nur in die Zahlentheorie.

04.08.2013, 14:53

Leopold

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Aber auch bei beliebigen Gruppen spricht man von Nebenklassen: Links- und Rechtsnebenklassen einer Untergruppe. Und wenn die bei Normalteilern oder in abelschen Gruppen zusammenfallen, auch von Restklassen. Sicher kommt der Begriff ursprünglich aus der Zahlentheorie mit ihren Restklassen modulo m, aber seine sinngemäße Übertragung auf analoge Situationen erscheint mir natürlich. Ich kenne das auch so aus der Literatur, etwa beim Restklassenring nach einem Ideal.

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