komplexes Integral mit Logarithmus

03.08.2013, 10:07

Frau in Not

komplexes Integral mit Logarithmus

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben. Kann mir jemand sagen, ob mein Ergebnis von dieser Aufgabe stimmt?
$\begin{eqnarray*} \frac{(log(x))^{2}}{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$ Integriert wird von 0 bis Pi

Meine Ideen:
ich habe das integral in 4 wege geteilt und zwei gehen gegen 0 für den rest habe ich den residuensatz benutzt und habe -Pi raus.. aber dsas kommt mir zu "schön" vor für soeine aufgabe
ich hoffe ihr könnt mir helfen
LG

03.08.2013, 11:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Frau in Not
zwei gehen gegen 0 für den rest habe ich den residuensatz benutzt und habe -Pi raus..

Damit meinst du jetzt aber nicht das Gesamtergebnis, oder? Schließlich ist der Integrand (abgesehen von der Stelle x=1) durchgehend positiv, so dass auch zwingend ein positiver Integralwert rauskommen muss.

03.08.2013, 18:13

Frau in Not

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Doch hatte das als Gesamtergebnis raus aber stimmt das kann nicht sein. Kann mir jemand helfen? Wie löst man das am besten?
Lg

04.08.2013, 10:49

Huggy

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RE: komplexes Integral mit Logarithmus

Zitat:

Original von Frau in Not
ich habe das integral in 4 wege geteilt und zwei gehen gegen 0 für den rest habe ich den residuensatz benutzt

Dieser Satz klingt etwas mysteriös, aber es steckt vermutlich eine richtige Idee dahinter. Man möchte das Integral mit dem Residuensatz berechnen. Dazu integiert man über einen geeigneten geschlossenen Weg in der komplexen Ebene, der das gesuchte Integral als Teilintegral enthält. Welchen Weg könne man hier nehmen? Was sind die Residuen der zu integrierenden Funktion im Inneren des Weges? Wie hängt das Integral über den gewählten geschlossenen Weg mit dem gesuchten Integral zusammen?

04.08.2013, 12:08

Leopold

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RE: komplexes Integral mit Logarithmus

Zitat:

Original von Frau in Not
$\begin{eqnarray*} \frac{(log(x))^{2}}{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$ Integriert wird von 0 bis Pi

wirklich?

04.08.2013, 12:38

Huggy

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RE: komplexes Integral mit Logarithmus
Man liest doch immer wieder, was man lesen möchte, statt das, was da steht. Ich habe die Integration von 0 bis 1 unterstellt, die ziemlich sicher auch gemeint ist.

04.08.2013, 15:17

Leopold

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RE: komplexes Integral mit Logarithmus

Zitat:

Original von Huggy
Ich habe die Integration von 0 bis 1 unterstellt, die ziemlich sicher auch gemeint ist.

Wer weiß schon, was gemeint ist ...
Vielleicht soll die obere Grenze auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein. Oder doch $\begin{eqnarray*} 4711 \end{eqnarray*}$ ?

05.08.2013, 09:35

Frau in Not

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Ohje da war ich Kopf schon wieder weiter, als beim schreiben. natürlich ist Unendlich als obere Grenze gemeint
LG

05.08.2013, 09:52

Leopold

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Für reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} \varepsilon, R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < 1 < R \end{eqnarray*}$ setze sich der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma_{\varepsilon,R} \end{eqnarray*}$ zusammen aus der Strecke von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dem positiv orientierten Halbkreis um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ , der Strecke von $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} - \varepsilon \end{eqnarray*}$ und dem negativ orientierten Halbkreis um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} - \varepsilon \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Man integriert nun

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{\left( \log z \right)^2}{z^2 + 1} \end{eqnarray*}$

über $\begin{eqnarray*} \gamma_{\varepsilon,R} \end{eqnarray*}$ . Nimmt man bei $\begin{eqnarray*} \log z \end{eqnarray*}$ Argumente zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} \log z \end{eqnarray*}$ in der abgeschlossenen oberen Halbebene holomorph. Nach dem Residuensatz gilt daher

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_{\varepsilon,R}} \frac{\left( \log z \right)^2}{z^2 + 1} ~ \dd z = 2 \pi \operatorname{i} a \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ das Residuum von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ bei der Polstelle $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ sei. Es läßt sich mittels $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{\left( \log z \right)^2}{z + \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ leicht berechnen: $\begin{eqnarray*} a = g( \operatorname{i} ) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ kann man nachweisen, daß die Integrale über die Halbkreise verschwinden. Das Integral über die Strecke auf der positiven reellen Achse wird zu

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\left( \log x \right)^2}{x^2 + 1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Das Integral über die Strecke auf der negativen reellen Achse wird zu

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\left( \log x + \pi \operatorname{i} \right)^2}{x^2 + 1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Hier muß man genau aufpassen, daß man das mit den Vorzeichen richtig macht. Und selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \log x \end{eqnarray*}$ hier der gewöhnliche reelle natürliche Logarithmus.

Insgesamt ergibt sich daher

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\left( \log x \right)^2}{x^2 + 1} ~ \dd x \ + \ \int_0^{\infty} \frac{\left( \log x + \pi \operatorname{i} \right)^2}{x^2 + 1} ~ \dd x = 2 \pi \operatorname{i} a \end{eqnarray*}$

Nun kommt man weiter, indem man Real- und Imaginärteil auf beiden Seiten vergleicht. Man braucht noch den Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\dd x}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$ . Aber der darf wohl als bekannt vorausgesetzt werden.

05.08.2013, 10:58

Huggy

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Zitat:

Original von Frau in Not
Ohje da war ich Kopf schon wieder weiter, als beim schreiben. natürlich ist Unendlich als obere Grenze gemeint
LG

Das ist mehr als dünn! Null eigene Gedanken zum Weg, zu den Residuen, ... unglücklich

Aber jetzt hast du ja fast eine Komplettlösung von Leopold. Was tut man nicht alles, wenn eine Frau in Not ist. Big Laugh

05.08.2013, 14:17

Frau in Not

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Danke erstmal..
. Ich war ja schon bei der ersten frage soweit dass ich die halbkreise abgeschätzt hatte und die residuen waren auch schon berechnet. Lediglich der letzte schritt mit real und imaginär teil hat mir gefehlt. Wollte nur nicht jeden schritt einzeln schreiben
Aber vll sollte ich das das nächste mal dazu schreiben Freude

05.08.2013, 14:21

Frau in Not

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Hab ich mit (pi^3)/8 richtig gerechnet?

05.08.2013, 18:57

Leopold

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Und ganz ohne Residuensatz "maschinell":

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