Ausgleichsproblem Lösungsmenge

03.08.2013, 17:08	matheDJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsproblem Lösungsmenge Hallo, ich habe ein Ausgleichsproblem und soll davon jetzt die Lösungsmenge angeben. $\begin{eqnarray} \|\| \begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&0&2 \\ 3&1&4 \end{pmatrix} x -\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix} \|\|_2 \end{eqnarray}$ Wie sollte ich das am Besten machen? Die Matrix ist singulär, also gibt es keine eindeutige Lösung. Ich würde das auf normierte Zeilenstufenform bringen, aber ich weiß nicht, ob man das so lösen kann. Irgendwie bekomme ich das raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0& 1&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} x =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und eine Nullzeile, die ich weggelassen habe. Die letzte Zeile sagt, doch eigentlich aus, dass das Ausgleichsproblem keine Lösungsmenge hat, oder? 0=1 geht gar nicht. Aber es gibt eine Lösungsmenge für dieses Ausgleichsproblem. Was habe ich falsch gemacht? Ist der ganze Ansatz falsch?
06.08.2013, 23:58	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Ausgleichsprobleme sind überbestimmt. Es geht darum, $\begin{eqnarray} \Vert Ax - b \Vert_2 \end{eqnarray}$ zu minimieren. Dazu kannst Du etwa die Normalengleichungen verwenden, d.h. $\begin{eqnarray} A^TAx = A^Tb \end{eqnarray}$ lösen.
07.08.2013, 23:04	matheDJ	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Ich habe jetzt das Gleichungssystem raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 14&3&17\\ 3&2&5\\17&5&22 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 19\\6\\25\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die Lösungsmenge anzugeben muss ich doch die homogene Lösung und eine spezielle Lösung angeben, da ich ein inhomogenes Gleichungssystem habe, oder?* Ich habe für die homogene Lösung das raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\0&0&0 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \Rightarrow x=\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die spezielle Lösung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 14&3&17\\ 3&2&5\\17&5&22 \end{pmatrix} * x = \begin{pmatrix} 19\\6\\25\end{pmatrix} \Rightarrow x=\frac{1}{19} \begin{pmatrix} 20\\27\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lösungsmenge: $\begin{eqnarray} L=\left\{ x \in \mathbb R \| x= \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 20\\27\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ Ist das so ok?

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