Wertemenge einer Funktion

03.08.2004, 13:17

kuka79

Wertemenge einer Funktion

Hallo zum 2.! Hilfe

Irgendwie liegt mein Mathe LK schon lange zurück und beim Durcharbeiten für meine Klausur (die bereits morgen ist) tritt die ein oder andere Unklarheit auf:

Bei einer Kurvendiskussion - wie bestimme ich die Wertemenge?

Wie überprüfe ich die Funktion auf Konvexität und Konkavität?

Wie untersuche ich den r-lim und denl-lim der Definitionslücken?

Habe gedacht das würde evtl. durch Einsetzen sich links- bzw- rechts- nähernder Werte klappen?!

Ganz lieben Dank,

eine verzweifelte Studentin :P

03.08.2004, 13:26

BraiNFrosT

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In der Wertemenge bestimmst du alle Werte die die Funktion annimmt.
Wenn der Funktionswert z.B. nie 4 wird, kannst du die 4 aus der
Wertemenge heraus nehmen.
Andere Beispiele wären die Werte zwischen einem Hoch und eine Tiefpunkt
oder wenn die Funktion nur positive Werte annimmt.
War das verständlich ?

Den Grenzwert kannst du tatsächlich bestimmen indem du
Werte in deinen Taschenrechner tippst und dann siehst ob
das Ergebniss immer grösser oder kleiner wird, je näher du
an die Grenze stösst.

03.08.2004, 13:27

therisen

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Die Wertemenge kannst du nur durch Ausprobieren und geschicktes Hinsehen bestimmen.

Für die Grenzwerte schau dir die Regeln von de l'Hospital an smile

Gruß, therisen

03.08.2004, 13:28

Mathespezialschüler

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RE: Wertemenge einer Funktion
Naja, den Wertebereich kennt man meistens aus Erfahrung. Mir fällt da zum "Berechnen" aber nur ein, dass du alle Extremwerte bestimmst und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \end{eqnarray*}$ . DAmit bekommst du die höchsten und niedrigsten Werte, allerdings kann es auch sein, dass dazwischen ein Wert mal nich angenommen wird. Dazu müsstest du auf Stetigkeit überprüfen und die Definitionslücken feststellen. Vielleicht weiß jemand anderes was genaueres.
Zum konkav und konvex:

Wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a;b] \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , dann besitzt f in [a;b] einen Konvexbogen, für $\begin{eqnarray*} f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$ einen Konkavbogen.

Was sind r- und l-lim??

03.08.2004, 13:29

BraiNFrosT

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RE: Wertemenge einer Funktion

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was sind r- und l-lim??

Der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert.

03.08.2004, 13:32

grybl

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RE: Wertemenge einer Funktion
Zu konkav und konvex:
konkav ist negativ und konvex positiv gekrümmt.
Ermitteln kannst du das mit der 2. Ableitung.
f''(x)<0 konkav
f''(x)>0 konvex

smile

Edit: seh gerade, dass ich MSSs post wiederholt habe. :P

03.08.2004, 13:41

kuka79

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RE: Wertemenge einer Funktion
Ihr seid super !

Kann ich Euch morgen mitnehmen in die Klausur *g ?! smile

Und dann hätte ich auch noch eine ganz blöde Frage (die fast schon zu blöd zum fragen ist):

Es geht um die TR-Einstellung:

RAD nehme ich doch nur wenn das Intervall z.B. in Bogenmaß gegeben ist oder muss ich den Taschenrechner bei allen trigonometrischen Funktionen von DEG auf RAD stellen?

Kuka79

03.08.2004, 13:44

Mazze

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Zitat:

Den Grenzwert kannst du tatsächlich bestimmen indem du
Werte in deinen Taschenrechner tippst und dann siehst ob
das Ergebniss immer grösser oder kleiner wird, je näher du
an die Grenze stösst.

Leider werden dir dann die Tutoren auf die finger klopfen, da taschenrechner normal nicht gestattet ist in der klausur.

Grenzwertrechnungen werden immer durch umformungen betrieben, es wird solange umgeformt, erweitert (halt alles was äquivalent ist) bis man einen Ausdruck hat der keine Zweifel offen lässt

Beispiel

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 9}{x - 3} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist die Funktion an der Stelle x=3 nicht definiert.

linksseitige grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{x^2 + 9}{x - 3} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{x*(x + \frac{9}{x})}{x*(1 - \frac{3}{x})} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{x + \frac{9}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \end{eqnarray*}$

Nun, wenn x gegen 3 von links konvergiert ist der grenzwert von 9/x = 3. Genauso wäre es von rechts. Da x gegen 3 geht ist der grenzwert von x selbstverständlich 3. der Grenzwert einer konstantenfunktion ist die funktion selber, also von 1 = 1 , von 9 = 9. Der Grenzwert von 3/x ist 1

Also

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{3 + 3}{1 - \frac{3}{x}} \end{eqnarray*}$

Ich habe bewusst im nenner nicht den Grenzwert für 3/x hingeschrieben da sonst ein nicht definierter ausdruck entstünde. Eines ist klar, 3/x nähert sich der 1 an wird aber NIE 1. Daraus folgt dann das 1 - 3/x sehr nahe an 0 ist, und daraus folgt der Grenzwert minus unendlich

denk dran 3/x für x < 3 ist > 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{6}{1 - \frac{3}{x}} = - \infty \end{eqnarray*}$

edit

Vergiss alles was ich sagte, Du darfst den Taschenrechner tatsächlich benutzen.

03.08.2004, 13:44

Mathespezialschüler

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RE: Wertemenge einer Funktion
Wenn du für die Trigonometrischen Funktionen RAD benutzen musst, kannst du es mMn auch drin lassen, da du es auch für alles andere benutzen kannst. Bin mir aber nich ganz sicher.

03.08.2004, 13:50

kuka79

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In Mathe zum Glück ja, in Physik dafür leider nicht, dam müssen die ganzen Werte im Kopf sein *schluchz

Fand Deine Erklärung aner sehr hilfreich und verständlich - Danke !

:]

03.08.2004, 13:55

Mazze

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Ich hatte nen kleinen fehler drin gucks dir nochmal genau an

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