Grenzverteilung normalverteilter Zufallsvektoren mit Kovarianzmatrix |
04.08.2013, 16:56 | tripleD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grenzverteilung normalverteilter Zufallsvektoren mit Kovarianzmatrix Hi, während ich nach wie vor mit dieser Aufgabe beschäftigt bin, möchte ich euch nach Rat für ein weiteres Problem fragen. sei eine Folge von Zufallsvektoren, wobei in Verteilung gegen konvergiert, mit positiv definiter Kovarianzmatrix . Gesucht ist nun die Grenzverteilung von . Meine Ideen: Am meisten irritiert mich das . Falls es diesen Faktor nicht gäbe, wäre es, so glaube ich, ziemlich einfach: Betrachte nun also lediglich . Dieser Ausdruck konvergiert gegen . Da (Kovarianzmatrix ist symmetrisch), strebt der Ausdruck also gegen . Ist das soweit korrekt? Falls ja, so muss man sich nun noch um das kümmern. Konvergiert gegen (natürlich wieder mit wegen Symmetrie)? Falls dem so ist, so würde ich sagen, dass insgesamt gegen konvergiert, d.h.. Danke für jegliche Vorschläge und Korrekturen. |
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04.08.2013, 17:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für positiv definite Matrizen wie gibt es ja eine Matrix mit Dann konvergiert die transformierte Folge gegen mit Einheitsmatrix . Damit ist dann , was dann offenbar -Verteilung als Grenzverteilung besitzt, wobei die Dimension der hier betrachteten Vektoren bezeichnet. |
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04.08.2013, 18:57 | tripleD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du darauf genauer eingehen? |
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04.08.2013, 19:01 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das folgt aus einer Basiseigenschaft der mehrdimensionalen Normalverteilung:
Rechne es damit doch mal nach! |
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04.08.2013, 19:27 | tripleD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe ich gemacht. Diese Eigenschaft ist mir bekannt, ich habe sie auch im Startpost mehrmals verwendet. konvergiert gegen , d.h. gegen . konvergiert nach dem Satz gegen . Damit das gilt, was du geschrieben hast, muss gelten: . (Warum) ist das so? Außerdem: Wir haben die Zerlegung ein wenig anders kennengelernt. Bei uns heißt es , wobei O eine Orthognalmatrix ist und D eine Diagonalmatrix. Gruß |
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04.08.2013, 19:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist (wenn du da auch fragst "warum": Schreib es elementweise auf!), also ist , also ist
Ja, und dann wähle einfach , wobei die Diagonalmatrix ist, deren Diagonalelemente aus den Wurzeln der Diagonalelemente von besteht. P.S.: Eine Menge Defizite in linearer Algebra, speziell Matrizenoperationen. Versuche doch bitte mal, ein wenig selbständiger zu agieren, anstatt bei jeder klitzekleinen Eigenschaft "warum" zu schreien. |
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