Grenzverteilung normalverteilter Zufallsvektoren mit Kovarianzmatrix

04.08.2013, 16:56

tripleD

Grenzverteilung normalverteilter Zufallsvektoren mit Kovarianzmatrix

Meine Frage:
Hi,

während ich nach wie vor mit dieser Aufgabe beschäftigt bin, möchte ich euch nach Rat für ein weiteres Problem fragen.

$\begin{eqnarray*} (X_n)_n \end{eqnarray*}$ sei eine Folge von Zufallsvektoren, wobei $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ in Verteilung gegen $\begin{eqnarray*} N(0,\Sigma) \end{eqnarray*}$ konvergiert, mit positiv definiter Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ .

Gesucht ist nun die Grenzverteilung von $\begin{eqnarray*} Z_n := X_n^T \Sigma^{-1} X_n \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Am meisten irritiert mich das $\begin{eqnarray*} X_n^T \end{eqnarray*}$ .
Falls es diesen Faktor nicht gäbe, wäre es, so glaube ich, ziemlich einfach:
Betrachte nun also lediglich $\begin{eqnarray*} \Sigma^{-1} X_n \end{eqnarray*}$ . Dieser Ausdruck konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} N(0, \Sigma^{-1} \Sigma {(\Sigma^{-1})}^T) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (\Sigma^{-1})^T = \Sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ (Kovarianzmatrix ist symmetrisch), strebt der Ausdruck also gegen $\begin{eqnarray*} N(0, \Sigma^{-1}) \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit korrekt? Falls ja, so muss man sich nun noch um das $\begin{eqnarray*} X_n^T \end{eqnarray*}$ kümmern. Konvergiert $\begin{eqnarray*} X_n^T \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} N(0, \Sigma^T) \end{eqnarray*}$ (natürlich wieder mit $\begin{eqnarray*} \Sigma=\Sigma^T \end{eqnarray*}$ wegen Symmetrie)? Falls dem so ist, so würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ insgesamt gegen $\begin{eqnarray*} N(0,\Sigma \Sigma^{-1}) \end{eqnarray*}$ konvergiert, d.h. $\begin{eqnarray*} Z_n \rightarrow N(0,I_n) \end{eqnarray*}$ .

Danke für jegliche Vorschläge und Korrekturen.

04.08.2013, 17:32

HAL 9000

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Für positiv definite Matrizen wie $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ gibt es ja eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Sigma=AA^T \end{eqnarray*}$ Dann konvergiert die transformierte Folge $\begin{eqnarray*} Y_n=A^{-1}X_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(0,E) \end{eqnarray*}$ mit Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann $\begin{eqnarray*} Z_n = Y_n^T A^T\Sigma^{-1}A Y_n = Y_n^T A^T (AA^T)^{-1} A Y_n = Y_n^T Y_n \end{eqnarray*}$ , was dann offenbar $\begin{eqnarray*} \chi^2_d \end{eqnarray*}$ -Verteilung als Grenzverteilung besitzt, wobei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Dimension der hier betrachteten Vektoren bezeichnet.

04.08.2013, 18:57

tripleD

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dann konvergiert die transformierte Folge $\begin{eqnarray*} Y_n=A^{-1}X_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(0,E) \end{eqnarray*}$ mit Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Könntest du darauf genauer eingehen?

04.08.2013, 19:01

HAL 9000

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Das folgt aus einer Basiseigenschaft der mehrdimensionalen Normalverteilung:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y=b+AX \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} Y \sim \mathcal{N}(b+A\mu, A\Sigma A^T) \end{eqnarray*}$ , natürlich vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} A\Sigma A^T \end{eqnarray*}$ regulär ist.

Rechne es damit doch mal nach!

04.08.2013, 19:27

tripleD

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Habe ich gemacht. Diese Eigenschaft ist mir bekannt, ich habe sie auch im Startpost mehrmals verwendet.

$\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} N(0,\Sigma) \end{eqnarray*}$ , d.h. gegen $\begin{eqnarray*} N(0,AA^T) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A^{-1} X_n \end{eqnarray*}$ konvergiert nach dem Satz gegen $\begin{eqnarray*} N(0,A^{-1}AA^T ({A^{-1}})^T) \end{eqnarray*}$ .

Damit das gilt, was du geschrieben hast, muss gelten: $\begin{eqnarray*} ({A^{-1}})^T = ({A^{T}})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

(Warum) ist das so?

Außerdem:
Wir haben die Zerlegung ein wenig anders kennengelernt. Bei uns heißt es $\begin{eqnarray*} \Sigma = ODO^T \end{eqnarray*}$ , wobei O eine Orthognalmatrix ist und D eine Diagonalmatrix.

Gruß

04.08.2013, 19:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von tripleD
Damit das gilt, was du geschrieben hast, muss gelten: $\begin{eqnarray*} ({A^{-1}})^T = ({A^{T}})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

(Warum) ist das so?

Es ist $\begin{eqnarray*} (UV)^T = V^TU^T \end{eqnarray*}$ (wenn du da auch fragst "warum": Schreib es elementweise auf!), also ist $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = E^T = E \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tripleD
Bei uns heißt es $\begin{eqnarray*} \Sigma = ODO^T \end{eqnarray*}$ , wobei O eine Orthognalmatrix ist und D eine Diagonalmatrix.

Ja, und dann wähle einfach $\begin{eqnarray*} A = O\sqrt{D} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ die Diagonalmatrix ist, deren Diagonalelemente aus den Wurzeln der Diagonalelemente von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ besteht.

P.S.: Eine Menge Defizite in linearer Algebra, speziell Matrizenoperationen. Versuche doch bitte mal, ein wenig selbständiger zu agieren, anstatt bei jeder klitzekleinen Eigenschaft "warum" zu schreien. unglücklich

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