Grenzwert berechnen

04.08.2013, 17:04

Janina20

Grenzwert berechnen

Hallo,

kann mir bitte jemand bei dem Grenzwert helfen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{ \alpha_1 e^{- \alpha_1 t} + \alpha_2 e^{- \alpha_2 t} - (\alpha_1+\alpha_2) e^{- (\alpha_1+\alpha_2) t} }{e^{- \alpha_1 t} + e^{- \alpha_2 t} - e^{- (\alpha_1+\alpha_2) t}} \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

04.08.2013, 17:42

Che Netzer

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RE: Grenzwert berechnen
Wie lautet denn die ganze Aufgabe? Weißt du z.B. irgendetwas über (die Vorzeichen von) $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ ?

04.08.2013, 18:02

Janina20

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie lautet denn die ganze Aufgabe? Weißt du z.B. irgendetwas über (die Vorzeichen von) $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ ?

Hallo,

danke, dass du dich gemeldet hast.

Ausfallrate eines Parallelsystems mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ - exp. Lebensdauern $\begin{eqnarray*} (\alpha_1 < \alpha_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(t)=e^{- \alpha_1 t} + e^{- \alpha_2 t} - e^{- (\alpha_1+\alpha_2) t} h(t) = \frac {-R'(t)}{R(t)} = \frac{ \alpha_1 e^{- \alpha_1 t} + \alpha_2 e^{- \alpha_2 t} - (\alpha_1+\alpha_2) e^{- (\alpha_1+\alpha_2) t} }{e^{- \alpha_1 t} + e^{- \alpha_2 t} - e^{- (\alpha_1+\alpha_2) t}} h(0)=0, \lim_{t \to \infty} h(t) = \alpha_1 \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist wie die auf $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} = \alpha_1 \end{eqnarray*}$ kommen?

Danke im Voraus

Edit Equester: Schreibfehler korrigiert und Korrekturbeitrag gelöscht.

04.08.2013, 18:04

Che Netzer

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Janina20
Ausfallrate eines Parallelsystems mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ - exp. Lebensdauern $\begin{eqnarray*} (\alpha_1 < \alpha_2) \end{eqnarray*}$

Dann vermute ich mal, dass sogar $\begin{eqnarray*} 0<\alpha_1<\alpha_2 \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Zitat:

Meine Frage ist wie die auf $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} = \alpha_1 \end{eqnarray*}$ kommen?

Erweitere den Bruch mal mit $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\alpha_1t} \end{eqnarray*}$ .

Anschaulich: Der Term $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-\alpha_1t} \end{eqnarray*}$ fällt am langsamsten, weshalb man die anderen Terme vernachlässigen kann, d.h.
$\begin{eqnarray*} h(t)\sim\frac{\alpha_1\mathrm e^{-\alpha_1t}}{\mathrm e^{-\alpha_1t}}=\alpha_1\to\alpha_1\,. \end{eqnarray*}$
Wie gesagt: Das ist nur eine anschauliche Argumentation, formal geht das so nicht. (nutze stattdessen die vorgeschlagene Erweiterung)

04.08.2013, 18:20

Janina20

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Danke
Vielen Dank!

LG,
Janina

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