Summe von Quadratzahlen

04.08.2013, 18:29

Dazar

Summe von Quadratzahlen

Meine Frage:
Hallo,

meine Frage bezieht sich auf einen Beweis zu der Summenformel von Quadratzahlen. Undzwar soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ gilt. Es soll keine Induktion verwendet werden.

Meine Ideen:
Also folgendes weis ich schon. Die Summe aller $\begin{eqnarray*} k^{2} \end{eqnarray*}$ ergibt nach dem Pascalschen Dreieck, $\begin{eqnarray*} 2*T_{n-1} + D_{n} \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} T_{i} \end{eqnarray*}$ die Tetraederzahlen darstellt und $\begin{eqnarray*} D_{i} \end{eqnarray*}$ die Dreieckszahlen. Nun muss ich also beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} = 2*T_{n-1} + D_{n} \end{eqnarray*}$ gilt. Durch umformen komme ich auf $\begin{eqnarray*} 3*(2 + 6 + 12 + ... + (n-1)n) = 2n - 2 \end{eqnarray*}$ . Dies muss jedoch noch bewiesen werden und hier komme ich dann nicht weiter. Ich bedanke mich schon im Vorraus für alle konstruktiven Beiträge.

04.08.2013, 19:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} T_n = {{n+2} \choose 3} \, , \ D_n = {{n+1} \choose 2} \, ; \ \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} 2 T_{n-1} + D_n \end{eqnarray*}$ mittels der obigen Binomialkoeffizienten ergibt das Gewünschte. Beachte:

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} = \frac{(n)_k}{k!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1} \end{eqnarray*}$

Im Zähler und Nenner rechts sind es jeweils $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Faktoren.

Und immer dran denken: "Ausklammern kommt vor Ausmultiplizieren". Die meisten Leute sehen das ja eher umgekehrt.

04.08.2013, 21:30

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y(n)=\sum_{k=1}^n k^2 = a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0 \end{eqnarray*}$

mit
y(1)=1
y(2)=5
y(3)=14
y(4)=30

macht , erhält man dieselbe Lösung: $\begin{eqnarray*} y(n)=\frac 13 n^3 +\frac 12 n^2 +\frac 16 n \end{eqnarray*}$

was auch für ähnliche Summen funktioniert. Leider kein Beweis oder ?

05.08.2013, 01:47

Tesserakt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Leider kein Beweis oder ?

Wenn man diese Vermutung mittels vollständiger Induktion beweist, schon.

05.08.2013, 02:29

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das hätte ich mir auch selbst denken können.

Gibt es einen Grund, warum derPolynomansatz immer funktioniert ?

05.08.2013, 08:37

Leopold