Bilinearform nicht ausgeartet (Beweis)

04.08.2013, 17:29	Ryuk321	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform nicht ausgeartet (Beweis) Guten Abend, ich möchte folgende Aussage beweisen: Seien V,W endlich dimensionale K Vektorräume mit $\begin{eqnarray} dim(V)=dim(W) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass eine Bilinearform $\begin{eqnarray} \beta : V \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} V -K \end{eqnarray}$ genau dann nicht ausgeartet in der ersten Variablen ist, wenn sie nicht ausgeartet in der 2. Variablen ist. Eine Bilinearform heißt ja nicht ausgeartet, wenn gilt: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \beta _1:V -> W^{} , x -> (y-> \beta (x,y) ) \end{eqnarray}$ injektiv ist. D.h. Nur der Nullvektor liegt im Kern der Abbildung. Daraus muss ich wohl nun folgern können, dass auch $\begin{eqnarray} \beta _2:W -> V^{} , y -> (x-> \beta (x,y) ) \end{eqnarray}$ injektiv ist, was vermutlich aufgrund der Dimensionsgleichheit möglich ist. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das anstelle...wäre für jede Hilfe dankbar
05.08.2013, 00:17	Frehmen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ryuk, Versuch mal folgndes. Nimm 2 Basen von U und V (zB $\begin{eqnarray} $\{u_1,u_2,...,u_n\},\ \{v_1,v_2,...,v_n\}$ \end{eqnarray}$ ) und betrachte die Matrix $\begin{eqnarray} $A$ \end{eqnarray}$ mit den Einträgen $\begin{eqnarray} $a_{ij}=\beta(u_i,v_j)$ \end{eqnarray}$ . (Diese Matrix nennt man Darstellende Matrix). Was folgt für diese Matrix, wenn $\begin{eqnarray} $\beta$ \end{eqnarray}$ in der ersten Variablen ausgeartet ist?

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