Vollständige Induktion additives äußeres Maß

05.08.2013, 11:33

Nighel123

Vollständige Induktion additives äußeres Maß

Moin,

ich habe bewiesen, dass das Maß $\begin{eqnarray*} \mu : \mathfrak{\tilde A } \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ additiv ist,

also gilt wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zwei disjukte Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{\tilde A } \end{eqnarray*}$ sind, dass $\begin{eqnarray*} \mu(X \cup Y)=\mu(X)+\mu(Y) \end{eqnarray*}$ .

Muss ich jetzt um den Beweis für eine endliche Familie $\begin{eqnarray*} (X_k)_{k \geq 1} \end{eqnarray*}$ von paarweise disjukten Mengen (heißt das das man jede Menge mit jeder anderen Vergleicht und sie alle untereinander disjunkt sind?) zu führen vollständige Induktion machen?

Oder reicht das schon so wie es jetzt ist?

Weil eigentlich kann man ja schreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} (X_k)_{k\geq 1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist ein nicht triviales Intervall, eine Familie von paarweise disjunkten Mengen, dann gilt mit $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{k\in I} X_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde X_m=\bigcup_{k=1}^m X_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu (\bigcup_{k\in I} X_k)= \mu (\bigcup_{k\in I \wedge k>m} X_k \cup \tilde X_m)=\mu (\bigcup_{k\in I \wedge k>m} X_k) + \mu( \tilde X_m) \end{eqnarray*}$

und dass kann man ja jetzt immer wieder auseinanderziehen. Oder ist gerade das der Punkt, dass ich nicht aufschrieben kann wie man das unendlich oft auseinanderzieht? Und deswegen muss ich Induktion machen?

Gruß Nickel

05.08.2013, 22:54

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion additives äußeres Maß

Zitat:

Original von Nighel123
Oder reicht das schon so wie es jetzt ist?

Eigentlich schon. Das kommt drauf an, wie detailliert ihr vorgehen sollt.

Zitat:

mit $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{k\in I} X_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_m=\bigcup_{k=1}^m X_k \end{eqnarray*}$

Wenn die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ disjunkt sein sollen, wie kann dann $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ die Vereinigung von $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ und anderen Mengen sein? Dann müssten all diese Menge leer sein.

Zitat:

Oder ist gerade das der Punkt, dass ich nicht aufschrieben kann wie man das unendlich oft auseinanderzieht?

Was willst du denn unendlich oft auseinanaderziehen? Du hast hier doch immer nur endlich viele Mengen.

Deine Induktion ist jedenfalls völlig wirr; so solltest du das auf keinen Fall aufschreiben.

05.08.2013, 23:19

Nighel123

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RE: Vollständige Induktion additives äußeres Maß
ok das mit der Bezeichnung von $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ ist unsauber. Hab das jetzt ein Tilde drüber gemacht.

Das was ich in meinem letzten Beitrag aufgeschrieben habe soll keine Induktion sein, sondern einfach ein "Beweis" dafür, dass man die Funktion immer weiter aufteilen kann auf die einzelnen Mengen, bis man nur noch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k \in I} \mu^*(X_k) \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Induktion dazu hab ich im Anhang.

Die Frage ist nun dass es ja irgendwie klar ist, dass man so eine Vereinigung von diejukten Mengen immer weiter auseinander ziehen kann bis man die obige Summe bekommt. Ist es nun um einen sauberen Beweis zu haben nötig das mit Induktion noch zu beweisen?

Und ich hab noch eine Frage zu meiner Induktion. Ich benutze da wo ich (IA) geschrieben habe den Induktionsanfang um den Induktionsschritt zu machen. Das hab ich vorher noch nie gemacht. Ist das legitim?

05.08.2013, 23:24

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion additives äußeres Maß

Zitat:

Original von Nighel123
Ist es nun um einen sauberen Beweis zu haben nötig das mit Induktion noch zu beweisen?

Üblicherweise führt man dazu nicht extra eine Induktion durch.

Jedenfalls habe ich keine Ahnung, wie dein Beweis nun überhaupt aussieht – das, was hier steht, ist aber leider nur wirres Zeug.
Nimm dir disjunkte (messbare) Mengen $\begin{eqnarray*} X_1,\dotsc,X_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} \mu\left(\bigcup_{k=1}^nX_k\right)=\mu\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}X_k\right)+\mu(X_n)=\dotso=\sum_{k=1}^\infty\mu(X_k)\,. \end{eqnarray*}$
So sollte es eigentlich schon genügen. Es würde mich wundern, wenn mehr von euch erwartet wird (denn sehr viel mehr lässt sich dazu nicht sagen).

05.08.2013, 23:31

Nighel123

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RE: Vollständige Induktion additives äußeres Maß
wo liegt jetzt der unterschied zu mir? (siehe Anhang letzter Beitrag)

(Anhang war eben noch nicht hochgeladen)

05.08.2013, 23:37

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion additives äußeres Maß
Ah, mit dem Anhang sieht es schon viel besser aus Augenzwinkern

Den Induktionsanfang kannst du prinzipiell auch im Induktionsschritt benutzen; den hast du ja als eigenständige Aussage bewiesen. Hier musst du das aber gar nicht; du kannst auch das benutzen, was du 2) nennst (wobei das ja eigentlich genau dein Induktionsanfang ist).