Vereinfachung einer Folge zur Bestimmung des Grenzwertes

05.08.2013, 13:47

buntspecht

Vereinfachung einer Folge zur Bestimmung des Grenzwertes

Meine Frage:
Hallo, ich soll den Grenzwert folgender Folge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} { x }_{ n }\quad =\quad \sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
bis jetzt habe ich probiert, das ganze mit "1" zu erweitern und dann mit der 3. binomische Formel die Wurzeln aufzulösen, um dann ein n auszuklammern und die Nullfolgen 1/n zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} { x }_{ n }\quad =\quad \sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } } *\quad \frac { \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } }{ \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } } \\ \\ =\quad \frac { 2*\sqrt { n } }{ \sqrt { n+\sqrt { n } } +\sqrt { n-\sqrt { n } } } \end{eqnarray*}$

allerdings sehe ich jetzt schon, dass das wahrscheinlich nichts wird. Jemand eine bessere Idee?

05.08.2013, 13:57

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast ja eigentlich schon alles dazu gesagt.
Klammere jetzt halt im Nenner das n jeweils unter der Wurzel aus.

05.08.2013, 14:00

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vereinfachung einer Folge zur Bestimmung des Grenzwertes
Hallo,

ich denke, das war der richtige Schritt.
Kürze als nächstes durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

Mfg Michael

05.08.2013, 14:54

buntspecht

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht^^
also so in etwa meint ihr das:

$\begin{eqnarray*} =\quad \frac { 2*\sqrt { n } }{ \sqrt { n } \sqrt { 1+\frac { \sqrt { n } }{ n } } +\sqrt { n } \sqrt { 1-\frac { \sqrt { n } }{ n } } } \\ =\quad \frac { 2 }{ \sqrt { 1+\frac { 1 }{ \sqrt { n } } } +\sqrt { 1-\frac { 1 }{ \sqrt { n } } } } \end{eqnarray*}$

wäre denn, dies schon eine bekannte Nullfolge:

$\begin{eqnarray*} \frac { \sqrt { n } }{ n } \end{eqnarray*}$

der Nenner "wächst" ja schneller als der Zähler...

05.08.2013, 15:01

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Original von buntspecht
wäre denn, dies schon eine bekannte Nullfolge:

$\begin{eqnarray*} \frac { \sqrt { n } }{ n } \end{eqnarray*}$

der Nenner "wächst" ja schneller als der Zähler...

Vorsicht mit dieser Argumentation. Bei der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n} \end{eqnarray*}$ wächst der Nenner auch schneller als der Zähler!

Warum kürzt du hier nicht wieder einfach? (So, wie oben?)

Mfg Michael

05.08.2013, 15:30

buntspecht

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, wenn Vorsicht geboten ist, dann kürze ich wie oben immer soweit wie möglich oder anders formuliert, zu $\begin{eqnarray*} \infty *\infty ,\quad \frac { \infty }{ \infty } \end{eqnarray*}$ kann man auf diese Weise keine Aussage treffen.

Wären denn die folgenden Aussagen korrekt?

$\begin{eqnarray*} \lim _{ n\rightarrow \infty }{ n*0 } \quad =\quad 0, \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 0 }{ n } } \quad =\quad 0 \end{eqnarray*}$

05.08.2013, 15:49

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also, mir ist im Moment nicht mehr klar, was genau du eigentlich wissen willst?!

Die Grenzwerte, nach denen du fragst, sind aber korrekt, was sich natürlich allein daraus ergibt, dass konstante Folgen natürlich gegen ihr (einziges) Folgeglied konvergieren. Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} n\cdot 0=0=\frac{0}{n} \end{eqnarray*}$ "stets".

Mfg Michael

05.08.2013, 17:08

buntspecht

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich bin etwas abgedriftet zur allgemeinen Nachfrage, ob der Schluss "Null mal Unendlich ist gleich Null" korrekt ist^^

auf die Lösung

$\begin{eqnarray*} \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { x }_{ n } } =\quad 1 \end{eqnarray*}$

habt ihr mich weiter oben schon gebracht, danke.

05.08.2013, 17:14

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wieder Vorsicht! Ich habe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n*0 \end{eqnarray*}$

als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(n*0) \end{eqnarray*}$ interpretiert, nicht als $\begin{eqnarray*} (\lim_{n\to\infty}n)*0 \end{eqnarray*}$ .

Letzteres ist wieder mit Vorsicht zu genießen.

Mfg Michael

05.08.2013, 17:19

buntspecht

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist es wieder eingefallen, nennt sich unbestimmter Ausdruck und kann teilweise mit l'Hospital berechnet werden.^^

Ok, also können wir die Frage als beantwortet ansehen, danke.

Neue Frage »

Antworten »

Vereinfachung einer Folge zur Bestimmung des Grenzwertes

Verwandte Themen