Tensor Algebra - Element

05.08.2013, 14:38

Uwi

Tensor Algebra - Element

Meine Frage:
Hallo,

ich würde gerne wissen wie ich folgenden Ausdruck interpretieren soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^s v_{1}^{k}\otimes ....\otimes v_{n_{k}}^{k} \end{eqnarray*}$

Fall es hilft, dieser Ausdruck soll ein Element aus der Tensoralgebra darstellen.

Meine Ideen:
Mir ist dabei klar, das jeder Summand aus n Komponenten besteht. Allerdings weiß ich nicht wie ich die oberen Indizes deuten soll (Ich bin mir sehr sicher, dass es keine Potenzen sind, sondern obere Indizes.)
Und der Bereich zwischen den Pünktchen kann ich auch nicht so einfach ausfüllen. Würdet ihr sagen da stehen n_k

05.08.2013, 15:36

tmo

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Wenn das ein Index sein soll, dann ist es nunmal in ein Index.

Vorher müssten dann sowas stehen wie (oder es muss sich halt aus dem Kontext ergeben): Zu jedem $\begin{eqnarray*} k = 1, \dotsc, s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i = 1, \dotsc, n_k \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} v_i^k \end{eqnarray*}$ gegeben...

Die Pünktchen sind so auszufüllen:

$\begin{eqnarray*} v_1^k \otimes v_2^k \otimes \dotsc \otimes v_{n_k-1}^k \otimes v_{n_k}^k \end{eqnarray*}$

Jeder Summand ist also ein Element aus $\begin{eqnarray*} V^{\otimes n_k} \end{eqnarray*}$ .

05.08.2013, 15:46

Uwi

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Zitat:

Original von tmo

Jeder Summand ist also ein Element aus $\begin{eqnarray*} V^{\otimes n_k} \end{eqnarray*}$ .

Wenn dies der Fall ist, kann man also nicht einmal sagen, dass jeder Summand aus n Komponenten besteht. $\begin{eqnarray*} n_{k} \end{eqnarray*}$ ändert sich dann wohl je nach k? Also die größe.

Leider wurde nicht genauer gesagt was z.B. $\begin{eqnarray*} v_{1}^{1} \end{eqnarray*}$ bedeutet. Lediglich das so ein Element aus der Tensoralgebra T(V) aussieht. unglücklich

05.08.2013, 15:55

tmo

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Zitat:

Original von Uwi
Wenn dies der Fall ist, kann man also nicht einmal sagen, dass jeder Summand aus n Komponenten besteht. $\begin{eqnarray*} n_{k} \end{eqnarray*}$ ändert sich dann wohl je nach k? Also die größe.

Genau so ist es.

Zitat:

Original von Uwi
Lediglich das so ein Element aus der Tensoralgebra T(V) aussieht. unglücklich

Und das ist vollkommen richtig. Ein allgemeines Element aus T(V) sieht so aus.

Wenn die $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ alle gleich sind (z.b. gleich n), so hätte man ein allgemeines homogenes Element. Das ist natürlich eine Einschränkung.

05.08.2013, 16:00

Uwi

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Ah, das ist schonmal gut. Ich hab es jetzt schon besser Verstanden.
Aber zum einen ist mir folgendes nicht klar:
Die Tensor Algebra ist doch eine direkte Summe? Wieso wird das hier nicht berücksichtigt, sondern einfach nur summiert?

Und wieso obere und untere Indizes? Die unteren sind klar: Sie symbolisieren n_k Elemente.
Doch was stellen die oberen dar? Etwa einfach nur zur Unterscheidung bzw. Abhebung von den anderen jeweils homogenen Bestandtielen?

05.08.2013, 16:17

tmo

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Zitat:

Original von Uwi
Die Tensor Algebra ist doch eine direkte Summe? Wieso wird das hier nicht berücksichtigt, sondern einfach nur summiert?

Man identifiziert hier das Element $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ einer direkten Summe einfach mit $\begin{eqnarray*} u + v \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Uwi
Und wieso obere und untere Indizes?

Sonst kriegt man halt nicht alle Elemente. Niemand will aus Willkür zu viele Indizes einführen (naja fast niemand...), aber hier ist es einfach nicht anders möglich.

Sind z.b. $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ verschiedene Elemente aus V, so muss man ja auch das Element $\begin{eqnarray*} a + b \otimes c \end{eqnarray*}$ mit der Schreibweise abdecken.

Ohne die oberen Indizies wäre aber doch bei jedem Summand der erste Faktor gleich, d.h. es wäre höchstens sowas wie $\begin{eqnarray*} a + a \otimes c \end{eqnarray*}$ möglich.

05.08.2013, 16:25

Uwi

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Ok, man kann damit also alle Elemente abdecken? Und wie genau geschieht das? Also ich kann aus dieser Summenschreibweise nicht erkennen, dass alle Elemente abgedeckt werden?
Ein direkter Summand ist ja ein Element mit dem homogenitätsgrad n_k. Ist es etwa so, dass man sagt

$\begin{eqnarray*} v_{1}^{2} \end{eqnarray*}$ ist irgendein Element aus V. Welches genau hängt dann von der konkreten Definition ab.

05.08.2013, 17:01

tmo

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Dass ein beliebiges Element so aussieht, ist die Definition einer direkten Summe.

05.08.2013, 17:10

Uwi

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Ja, also würdest du sagen, dass man keine genauere Aussage machen kann was die oberen Indizes sind. Sie sind nur da um zu symbolisieren, dass das Element $\begin{eqnarray*} v_{i}^k \end{eqnarray*}$ irgendein Element aus V ist.
Und ein solcher Summand
$\begin{eqnarray*} v_1^k \otimes v_2^k \otimes \dotsc \otimes v_{n_k-1}^k \otimes v_{n_k}^k \end{eqnarray*}$
ist eiin Element von der n_k ten Tensorpotenz. Also homogen vom Grad n_k.
Durch die oberen und unteren Indizes soll dabei dann klar werden, dass es ein beliebiges Element aus dieser Tensorpotenz ist?

05.08.2013, 17:14

tmo

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Irgendwie scheinst du den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen.

Ist dir noch nie eine Doppelindizierung begegnet?

Jeder Summand kann doch als ersten Faktor ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ aus V haben.

Ohne den oberen Index wären die $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ aber alle gleich. Sollen sie aber nicht sein. Sonst geht ja die Beliebigkeit verloren. Also indiziert man.

05.08.2013, 17:17

Uwi

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Ehrlichgesagt hatte ich noch nichts mit Doppelindizes zu tun, zumindest nicht in der Form. Das verwirrt mich etwas...
V.a. sehe ich die "beliebigkeit nicht". Denn der erste Summand hat als zweiten Index die 1 bei jeder Komponente, der zweite 2 usw....

05.08.2013, 17:26

tmo

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In welcher Form sind sie dir denn begegnet?

Vielleicht hilft ein Beispiel:

Wenn wir z.b. das Element $\begin{eqnarray*} a + b \otimes c + d \otimes e \otimes f \otimes g \end{eqnarray*}$ haben, so ist in der Notation aus deinem ersten Post:

$\begin{eqnarray*} s = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1^1 = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1^2 = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2^2 = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_3=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1^3 = d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2^3 = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3^3 = f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4^3 = g \end{eqnarray*}$

05.08.2013, 17:33

Uwi

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Also begegnet eigentlich mehr in der Analysis in Form von mehrdimensionalen Taylorpolynomen. Das kann man ja auch extrem stark vereinfachen durch Multi-Indize-Schreibweise. Da war mir aber irgendwie klarer was gemacht wird.

Vielen Danke für das Beispiel, daran wird das ganze endlich klar smile

Endlich kann ich das nachvollziehen *freu*

05.08.2013, 17:36

tmo

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Aber so eine Matrix ist dir auch schon hin und wieder begegnet oder? Big Laugh

Da musst du schon mal eine Doppelindizierung gesehen haben...

Nur dass man dort meist $\begin{eqnarray*} a_{i,j} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ schreibt, da die Einträge einer Matrix potenziert werden können. Da bietet sich der Index oben eben nicht wirklich an, da es zu Verwechslungsgefahr kommt, bzw. es richtig hässlich wird, wenn dann wirklich mal potenziert wird: $\begin{eqnarray*} {a_i^j}^n \end{eqnarray*}$ unglücklich

05.08.2013, 17:41

Uwi

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Mich hat das ganze nur etwas irritiert, weil ich mit solchen Summen bisher nur sehr sehr selten umgegangen bin. Bei Matrizen unter anderen ja, das stimmt :P

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