Reguläre Matrix mit Variablen

05.08.2013, 16:01	Captain Capri	Auf diesen Beitrag antworten »
Reguläre Matrix mit Variablen Meine Frage: Gegeben ist folgende Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 &s^{3} \\ 1 & 0 & s^{3} & 0 \\ 1 & s^{3} & 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Für welche s \in R (Reele Zahlen) ist diese Matrix regulär? Meine Ideen: Zuerst habe ich nach der letzten Spalte die Determinante entwickelt. Dadurch fallen ja schon mal 2 Unterdeterminanten weg, da diese ja mit 0 multipliziert werden. Komme dann auf $\begin{eqnarray} <br /> det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & s^{3} \\ 1 & s^{3} & 0 \end{pmatrix} + s^{3} det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & s^{3} \\ 1 & s^{3} & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Ausgerechnet komme ich dann auf das Polynom $\begin{eqnarray} - s^{3} * s^{3} + s^{3} (2s^{3} - s^{3}s^{3}) \end{eqnarray}$ An diesem Punkt komme ich dann nicht weiter. Ich weiß, dass für eine reguläre Matrix die Determinante $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.
05.08.2013, 16:10	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reguläre Matrix mit Variablen Hallo, die Abbildung $\begin{eqnarray} s\mapsto s^3 \end{eqnarray}$ ist auf den reellen Zahlen ja bijektiv. Du kannst $\begin{eqnarray} s^3 \end{eqnarray}$ also durch $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ersetzen. Damit wird auch die Determinante einfacher. Die Idee, die resultierende Determinante gleich Null zu setzen, um alle anderen Werte herauszufinden, ist naheliegend. Mfg Michael
13.08.2013, 11:45	Captain Capri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reguläre Matrix mit Variablen Mmhh... Habe mal dieses Polynom $\begin{eqnarray} - s^{3} s^{3} + s^{3} (2s^{3} - s^{3}s^{3}) \end{eqnarray}$ ausmultipliziert und kam dann auf $\begin{eqnarray} s^{6} - s^{9} \end{eqnarray}$ . Habe dann dieses = 0 gesetzt und dann immer wieder $\begin{eqnarray} s^{3} \end{eqnarray}$ ausgeklammert. $\begin{eqnarray} s^{3} * (s^{3} - s^{6})) = 0 \end{eqnarray}$ ==> Nullstelle 1 = 0 $\begin{eqnarray} s^{3} * (1- s^{3})) = 0 \end{eqnarray}$ ==> Nullstelle 2 = 0 $\begin{eqnarray} 1 - s^{3} = 0 \end{eqnarray*}$ ==> Nullstelle 3 = 1 Hieße dann, dass die Matrix für alle s in R \ {0, 1} regulär ist. Kann man diesen Argumentationspfad nutzen oder ist das gänzlich falsch?

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