Entwicklung von f(x) = ln(coshx) nach MacLauren bis zur 4ten Potenz

05.08.2013, 17:08

midgard87

Entwicklung von f(x) = ln(coshx) nach MacLauren bis zur 4ten Potenz

Hallo zusammen,

ich bereite mich gerade auf eine Matheprüfung vor und hänge am besagten Problem.

Bisher habe ich die ersten 4 Ableitungen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= ln(coshx) \end{eqnarray*}$ gebildet. Ich bin mir allerdings nicht sicher ob diese Stimmen. Kann einer diese Ableitungen bitte überprüfen?

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{coshx} * sinhx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{sinhx}{coshx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= tanhx \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{1}{cosh²x} \end{eqnarray*}$

3. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -1*(cosh²x)^{-2} * 2coshx*sinhx*1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -1* cosh^{-4}x * 2*coshx*sinhx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = \frac{-2 coshx*sinhx}{cosh^{4}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -2* \frac{sinhx}{cosh^{3}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -2 \frac{tanhx}{cosh^{2}x} \end{eqnarray*}$

4. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''''(x) = -2 \frac{tanhx}{cosh^{4}x} \end{eqnarray*}$

06.08.2013, 00:30

Dopap

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RE: Entwicklung von f(x) = ln(coshx) nach MacLauren bis zur 4ten Potenz

Zitat:

Original von midgard87

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -2* \frac{sinhx}{cosh^{3}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -2 \frac{tanhx}{cosh^{2}x} \end{eqnarray*}$

4. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''''(x) = -2 \frac{tanhx}{cosh^{4}x} \end{eqnarray*}$

Die 4.te Ableitung gefällt mir nicht. Die Frage ist auch, ob es klug ist, in die dritte Ableitung den tanh wieder künstlich hinein zu mischen? Gefällt mir nicht so besonders.
Warum also nicht:

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -2\cdot\frac{\sinh(x)}{\cosh^{3}(x)} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x) = -2\cdot\frac{\cosh^2(x)+3\sinh^2(x)}{\cosh^{4}(x)} \end{eqnarray*}$

06.08.2013, 16:52

midgard87

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Hallo Dopap,

vielen Dank dass du die Ableitungen nachgerechnet hast. Ich bin jetzt auf die selben Lösungen gekommen, nachdem ich in der dritten und vierten Ableitung nicht "vereinfacht" habe, indem ich den tanh(x) einfüge.

Ich konnte nun die Aufgabe (Potenzreihenentwicklung nach MacLauren bis zur 4. Potenz) fertig rechnen und bin auf das korrekte Ergebnis gekommen.

Danke für die Unterstützung.

Grüße!

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