Kleinste-Quadrate-Schätzer via Ableitung bestimmen

05.08.2013, 21:09	picassobaby	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste-Quadrate-Schätzer via Ableitung bestimmen Meine Frage: Gehe aus von folgendem Modell: $\begin{eqnarray} Y_{ij}= \beta_i + \epsilon_{ij} \\ i=1,2 \\ j=1,...,J \end{eqnarray}$ Dabei sind die $\begin{eqnarray} \epsilon_{ij} \end{eqnarray}$ unabhängig $\begin{eqnarray} N(0,\sigma^2) \end{eqnarray}$ -verteilte Zufallsvariablen. Nun soll das folgende Kriterium differenziert werden: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array}\right) \rightarrow \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^J (Y_{ij}-b_i)^2 \end{eqnarray}$ Mithilfe der Ableitung soll der Kleinste-Quadrate-Schätzer $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} \hat \beta_1 \\ \hat \beta_2 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Meine Ideen: Mir erschließt sich nicht unmittelbar, wonach differenziert werden muss. Ich vermute, nach $\begin{eqnarray} \beta_i \end{eqnarray}$ sollte man ableiten. In jedem Fall kann man zunächst einmal einsetzen: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^J (Y_{ij}-b_i)^2 = \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^J (\beta_i + \epsilon_{ij}-b_i)^2 \end{eqnarray}$ Differenzieren nach $\begin{eqnarray} \beta_i \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \beta_i} = 2 \sum_{j=1}^J (\beta_i + \epsilon_{ij}-b_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,2 \end{eqnarray}$ . Dieser Ausdruck ist gleich mit Null, wenn $\begin{eqnarray} \beta_i = b_i-\epsilon_{ij} \end{eqnarray}$ . Habe ich damit den Kleinste-Quadrate-Schätzer gefunden? Da ich mir ja nicht sicher bin, wonach ich ableiten muss, habe ich das Kriterium auch einmal nach $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ abgeleitet. Die Extrema lauten dann $\begin{eqnarray} b_i = \frac{\sum_{j=1}^J Y_{ij}}{J} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,2 \end{eqnarray}$ . Rein gefühlsmäßig erscheint mir dieses Ergebnis sinnvoller.

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