Wahrsch. für alle Lieder auf Zufallsmodus |
05.08.2013, 21:36 | Hot_ice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wahrsch. für alle Lieder auf Zufallsmodus Im Sinne der Übersicht fasse ich meine Problemstellung zu einer simplen Frage zusammen: -Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei n=10.000 Versuchen aus k = 1.000 Liedern jedes Lied mindestens einmal zu hören, wenn die Zufallswiedergabe aktiviert ist? Für die Größenordnung kenne ich bereits Programme im Internet 1) 2). Möglichkeiten der Lösung: 1) Ich erkenne ein Prinzip oder wohlmöglich eine Formel, um es schnell auszurechnen. 2) Ich müsste ein Programm schreiben, welches mittels Numerik ? zu der Lösung kommt. Zur erneuten Verinfachung der Schreibarbeit, können wir das auf n= 10 Versuche und k = 5 Lieder reduzieren. Lösungsansätze: 1) Optimal wäre eine bereits existierende Formel, deswegen habe ich folgendes probiert bzw. ab und zu mit vereinfachten Stichproben durchgerechnet: -Binomialverteilung, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich bleiben. -Poisson, ähnlich. -Hypergeometrisch, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten sich nicht "ohne Zurücklegen" entwickeln. -Baumdiagramme, verhalten sich zu unregelmäßig. Stichproben Beispiele: Baumdiagramm: Bei n=4 und k=3 bekomme ich P(genau 3 Treffer) = 6/27 P(mind. 3 Treffer) = 12/27 Binomialverteilung liefert P(x=3) = 4 über 3 * (1/3)^4 * (2/3)^1 = 8/243 2) Kombinatorik, welche in Baumdiagrammen endete 3) Kombinatorik, mithilfe der Analogie von sehr einfachen Fällen, wie n= 4 k=2, und stetiger Steigerung der Werte, um ein zu Muster zu finden: Auszug aus den Notizen: Aufgabe A) n=4,k=2 Visualisierung eines Beispielergebnisses: 1122 1211 1222 1111 Alle Möglichkeiten: 1111 1112 . . . 2222 Anzahl = 2^4 = 16 Ausschluss von nicht erfüllten Fällen: 1111, 2222 = 2 Stück Ungültige Möglichkeiten: 2 Gültige M. : 14 Wahrscheinlichkeit P (mind. jedes der 2 Lieder gehört) = Gültige Möglichkeiten / Alle Möglichkeiten = 14 / 16 = 7 / 8 Aufgabe B) n=4, k=3 Alle Möglichkeiten: 1111 . . . 3333 Anzahl = 3^4 = 81 Ausschluss von nicht erfüllten Fällen (konkreter Wert in der Klammer): 3 (1111, 2222, 3333) 2^4 (1222, ... , 2221) 2^4 (1333, ... , 3331) 2^4 (2333, ... , 3332) Anzahl Ungültige Möglichkeiten: 3 + 3 * 2^4 = 51 Anzahl Gültige M. : 81 - 51 = 30 Wahrscheinlichkeit P (mind. jedes der 3 Lieder gehört) = Gültige M. / Alle M. = 30 / 81 = 10 / 27 C) n = 4 k= 4, Einfach.. D) n = 6 k = 4 M. = 4^6 = 4096 Ausschluss: - 4 (111111,222222,333333,444444) - 2^ 6 (1222..., ....2221) MAL Anzahl der 2er Kombinationen: 4 über 2 = 6 (1333..., ...3331) (14..., ...41) (23.., ..23) ... - 3^6 (1111124....124444) MAL Anzahl der 3er Kombinationen: 4 über 3 = 4 Anzahl ungültier M.: 4 + 6 * 2^6 + 4 * 3^6 = 3304 Anzahl gültiger M.: 4096 + 3304 = 792 W (mind. jedes der 4 Lieder gehört) = 792 / 4096 = 99/512 E) . . . Über der Term "mindestens" - W ( mind. jedes der 4 Lieder gehört) im Bezug auf meinen 3) Lösungsansatz bin ich mir nicht ganz sicher. Welche Denkfehler habe ich gemacht? Wer hat Ideen? Wie lautet die Lösung? Danke vielmals. |
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05.08.2013, 21:53 | Hot_ice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit geht nach 15 Minuten leider nicht mehr. Sollte heißen: -Binomialverteilung, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten bedingt sind, da die Wahrscheinlichkeiten für jeden neuen Versuch ja sinken.? Außerdem haben meine Stichproben fehlgeschlagen Wie man sieht, könnte meine 3) irgendwann ein nettes Prinzip ergeben, ich werde das fortführen, hoffe allerdings, dass es eine intelligentere Lösung gibt. |
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05.08.2013, 23:35 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das kennt man unter Rosinenproblem: 10000 Rosinen kommen in einen Teig für 1000 Rosinenbrötchen. Mit welcher Wkt kann davon ausgegangen werden, dass jedes Brötchen den Namen verdient. Ich nehme hier mal die Poisson-verteilung mit dem Parameter für k=0 erhält man dafür, dass ein Brötchen keine Rosinen enthält. die Wkt, dass ein Brötchen Rosinen enthält ist demnach oder, der Erwartungswert für rosinenfreie Brötchen ist Inwiefern sollten da bedingte Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen |
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