Wahrsch. für alle Lieder auf Zufallsmodus

Neue Frage »

Hot_ice Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrsch. für alle Lieder auf Zufallsmodus
Meine Fragestellung ist im Zuge meines Abiturwissens entstanden, kann eventuell aber nur mit Universitätserfahrung gelöst werden, deswegen poste ich sie hier.

Im Sinne der Übersicht fasse ich meine Problemstellung zu einer simplen Frage zusammen:
-Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei n=10.000 Versuchen aus k = 1.000 Liedern jedes Lied mindestens einmal zu hören, wenn die Zufallswiedergabe aktiviert ist?

Für die Größenordnung kenne ich bereits Programme im Internet 1) 2).

Möglichkeiten der Lösung:
1) Ich erkenne ein Prinzip oder wohlmöglich eine Formel, um es schnell auszurechnen.
2) Ich müsste ein Programm schreiben, welches mittels Numerik ? zu der Lösung kommt.

Zur erneuten Verinfachung der Schreibarbeit, können wir das auf n= 10 Versuche und k = 5 Lieder reduzieren.

Lösungsansätze:
1) Optimal wäre eine bereits existierende Formel, deswegen habe ich folgendes probiert bzw. ab und zu mit vereinfachten Stichproben durchgerechnet:
-Binomialverteilung, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich bleiben.
-Poisson, ähnlich.
-Hypergeometrisch, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten sich nicht "ohne Zurücklegen" entwickeln.
-Baumdiagramme, verhalten sich zu unregelmäßig.

Stichproben Beispiele:
Baumdiagramm: Bei n=4 und k=3 bekomme ich
P(genau 3 Treffer) = 6/27
P(mind. 3 Treffer) = 12/27
Binomialverteilung liefert P(x=3) = 4 über 3 * (1/3)^4 * (2/3)^1 = 8/243

2) Kombinatorik, welche in Baumdiagrammen endete

3) Kombinatorik, mithilfe der Analogie von sehr einfachen Fällen, wie n= 4 k=2, und stetiger Steigerung der Werte, um ein zu Muster zu finden:

Auszug aus den Notizen:
Aufgabe A)
n=4,k=2

Visualisierung eines Beispielergebnisses:
1122
1211
1222
1111

Alle Möglichkeiten:
1111
1112
.
.
.
2222
Anzahl = 2^4 = 16

Ausschluss von nicht erfüllten Fällen:
1111, 2222 = 2 Stück
Ungültige Möglichkeiten: 2
Gültige M. : 14
Wahrscheinlichkeit P (mind. jedes der 2 Lieder gehört) =
Gültige Möglichkeiten / Alle Möglichkeiten = 14 / 16 = 7 / 8

Aufgabe B)
n=4, k=3

Alle Möglichkeiten:
1111
.
.
.
3333
Anzahl = 3^4 = 81

Ausschluss von nicht erfüllten Fällen (konkreter Wert in der Klammer):
3 (1111, 2222, 3333)
2^4 (1222, ... , 2221)
2^4 (1333, ... , 3331)
2^4 (2333, ... , 3332)
Anzahl Ungültige Möglichkeiten: 3 + 3 * 2^4 = 51
Anzahl Gültige M. : 81 - 51 = 30

Wahrscheinlichkeit P (mind. jedes der 3 Lieder gehört) =
Gültige M. / Alle M. = 30 / 81 = 10 / 27

C)
n = 4 k= 4, Einfach..

D)
n = 6 k = 4

M. = 4^6 = 4096

Ausschluss:
- 4 (111111,222222,333333,444444)
- 2^ 6 (1222..., ....2221) MAL Anzahl der 2er Kombinationen:
4 über 2 = 6 (1333..., ...3331) (14..., ...41) (23.., ..23) ...
- 3^6 (1111124....124444) MAL Anzahl der 3er Kombinationen:
4 über 3 = 4
Anzahl ungültier M.: 4 + 6 * 2^6 + 4 * 3^6 = 3304
Anzahl gültiger M.: 4096 + 3304 = 792

W (mind. jedes der 4 Lieder gehört) = 792 / 4096 = 99/512

E)
.
.
.

Über der Term "mindestens" - W ( mind. jedes der 4 Lieder gehört) im Bezug auf meinen 3) Lösungsansatz bin ich mir nicht ganz sicher.


Welche Denkfehler habe ich gemacht?
Wer hat Ideen?
Wie lautet die Lösung?

Danke vielmals.
Hot_ice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-Binomialverteilung, da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich bleiben

Edit geht nach 15 Minuten leider nicht mehr. Sollte heißen:
-Binomialverteilung, fällt aus, da die Wahrscheinlichkeiten bedingt sind, da die Wahrscheinlichkeiten für jeden neuen Versuch ja sinken.? Außerdem haben meine Stichproben fehlgeschlagen Big Laugh

Wie man sieht, könnte meine 3) irgendwann ein nettes Prinzip ergeben, ich werde das fortführen, hoffe allerdings, dass es eine intelligentere Lösung gibt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das kennt man unter Rosinenproblem:

10000 Rosinen kommen in einen Teig für 1000 Rosinenbrötchen.

Mit welcher Wkt kann davon ausgegangen werden, dass jedes Brötchen den Namen verdient.

Ich nehme hier mal die Poisson-verteilung mit dem Parameter



für k=0 erhält man dafür, dass ein Brötchen keine Rosinen enthält.

die Wkt, dass ein Brötchen Rosinen enthält ist demnach

oder, der Erwartungswert für rosinenfreie Brötchen ist

Inwiefern sollten da bedingte Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »