Prinzip! Extremstellen

05.08.2013, 22:24

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremstellen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Bestimme alle lokalen Maxima und Minima

f: (0,unendlich) pfeil R

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x} \end{eqnarray*}$

Hinweis :

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x}= e^{x*ln(x)} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme als ableitung das:

$\begin{eqnarray*} f´(x) = ln(x)* e^{x*ln(x)} \end{eqnarray*}$

ABer die Ableitung stimmt nicht nach meiner musterlösung .

Habt ihr tipps für mich?

Meine Ideen:
gepostet

Edit Equester: Ungewollt platzierten Smiley entfernt.

05.08.2013, 22:33

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Ableitung des Exponenten berechnen und diese dann "nach vorne multiplizieren".

$\begin{eqnarray*} g(x)=xln(x) \end{eqnarray*}$

die Ableitung ist nicht.

$\begin{eqnarray*} g '(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$

verwende die Produktregel.

05.08.2013, 22:41

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Produktregel angewendet:

x*ln(x) =

1*ln(x) +1/x * x

= ln(x)

Was ist an der produktregel falsch?

05.08.2013, 22:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\cdot x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du falsch zusammengefasst. Ansonsten stimmt es.

05.08.2013, 22:43

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah es müsste doch ln(x) +1 sein oder?

05.08.2013, 22:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und als Ableitung dann

$\begin{eqnarray*} f '(x)=(\ln(x)+1))x^x \end{eqnarray*}$

Jetzt würdest du jedoch noch die zweite Ableitung benötigen, damit du gucken kannst ob sich ein Hoch- oder Tiefpunkt ergibt.

Anzeige

05.08.2013, 22:49

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub die 2 Ableitung wird schwer:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = x^x *(ln(x)+1) + \frac{1}{x} *x^x \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

Edit Equester: ´´ durch '' ersetzt.

05.08.2013, 22:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht ganz korrekt. Vielleicht ist es aber auch nur ein Tippfehler. Überprüfe mal. Ansonsten musst du wieder den Rechenweg zeigen.

Übrigens benötigst du diesen ' strich um die Ableitungen zu kennzeichnen. Also den neben der Enter-Taste.

05.08.2013, 22:54

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ehrlich gesagt mein kompletter rechenweg .

Jetzt bin ich überfragt?

Ich hab ganz normal produktregel angewendet .

Wo liegt der Fehler ?

05.08.2013, 22:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja oben steht nur die Lösung und kein Rechenweg. Damit ich dir sagen kann wo der Fehler steckt musst du deinen kompletten Rechenweg notieren.

05.08.2013, 22:58

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von extreme
Ich glaub die 2 Ableitung wird schwer:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = x^x *(ln(x)+1) + \frac{1}{x} *x^x \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

$\begin{eqnarray*} x^x = x^x \end{eqnarray*}$ Ableitung 1

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (ln(x)+1) = 1/x \end{eqnarray*}$ 2 Ableitung

Was stimmt da nicht?

Edit Equester: ´´ durch '' ersetzt.

05.08.2013, 23:03

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie alles. verwirrt

verwirrt

Ich verstehe nämlich nicht, was du da im Endeffekt notiert hast.

Wir haben die erste Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=(\ln(x)+1)x^x \end{eqnarray*}$

Um die zweite Ableitung zu bestimmen benutzen wir wieder die Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f ''(x)=u\cdot v'+u'\cdot v \end{eqnarray*}$

Jetzt puzzeln wir uns die Ableitung zusammen.

$\begin{eqnarray*} u=ln(x)+1 \end{eqnarray*}$

was ist also die Ableitung $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} v=x^x \end{eqnarray*}$

was die Ableitung von v ist haben wir ja oben bereits herausgefunden.
Hast du nun also u, u', v und v' zusammen, kannst du dies einfach in die Formel einsetzen und musst dann nur noch geeignet zusammenfassen.

05.08.2013, 23:06

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

u` (x) = 1/x + 0

Stimmt das ?

Edit Equester: Vollzitat entfernt.

05.08.2013, 23:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Jetzt heißt es nur noch einsetzen und zusammenfassen.
Übrigens bitte diese Vollzitate vermeiden. Die machen das ganze recht unübersichtlich.

05.08.2013, 23:12

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre meine Ableitung:
$\begin{eqnarray*} 1/x *x^x + ln(x)+1 *x^x \end{eqnarray*}$

Dann ist doch meine Ableitung so ?

05.08.2013, 23:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ist das ja die Ableitung die du schon weiter oben angegeben hast, nur diesmal ist aus dem Multiplikationszeichen ein Plus geworden, was natürlich falsch ist. Ist aber auch wohl ein Tippfehler. Und du vergisst ebenfalls notwendige Klammern.

Es ist $\begin{eqnarray*} (\ln(x)+1)x^x\neq \ln(x)+1\cdot x^x \end{eqnarray*}$

Des Weiteren vergisst du das selbe wie oben.

Also, wir haben

$\begin{eqnarray*} u=\ln(x)+1<br /> <br /> u '=\frac1x<br /> <br /> v=x^x<br /> <br /> v '=(\ln(x)+1)x^x \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir ein:

$\begin{eqnarray*} f ''(x)=(\ln(x)+1)\cdot(\ln(x)+1)x^x+\frac1x\cdot x^x \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} \ln(x)+1 \end{eqnarray*}$ ist oben bei dir irgendwie verloren gegangen.

Nun zusammenfassen.

05.08.2013, 23:22

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht so ganz genau woher das ln(x)+1 herkommt ?

Warum steht das zweimal?

DAs verstehe ich auch in meiner Musterlösung nicht.

05.08.2013, 23:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich steht dies im Beitrag von gerade.
Das extra (ln(x)+1) erhalten wir aus der Ableitung von x^x. Davon wissen wir ja das diese

(ln(x)+1)x^x ist, weil wir das ja bereits berechnet haben.

05.08.2013, 23:34

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut ist leider schwer zu verstehen , aber machen wir dann weiter.

$\begin{eqnarray*} x^x* ( 1/x+(ln(x)+1)^2 ) \end{eqnarray*}$

Jetzt f'(x) = 0

$\begin{eqnarray*} x^x* ( 1/x+(ln(x)+1)^2 ) = 0 \end{eqnarray*}$

WIe finde ich hier nur die Nullstellen?

05.08.2013, 23:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du würdest hier gerade die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen. Du musst jedoch die der ersten bestimmen, wie du ja auch selbst geschrieben hast.

Zitat:

Na gut ist leider schwer zu verstehen , aber machen wir dann weiter.

Was genau verstehst du den nicht? Eigentlich sollte deine Frage in meinem obigem Beitrag beantwortet sein. Wir wenden lediglich die Produktregel an. Dazu haben wir die Teile u, u', v und v' bestimmt und einfach in die Formel eingesetzt. Guck dir das nochmal genau an.

05.08.2013, 23:42

extreme

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht warum das ln(x)+1 zweimal steht ?

$\begin{eqnarray*} x^x*(ln(x)+1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Mehr nullstellen hat die funktion nicht oder ?

05.08.2013, 23:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gastuser ist im Board bestens bekannt und fällt seit über einem Jahr durch seine Lernresistenz auf. Wir sind nicht länger bereit, durch die von ihm stets geforderten kleinschrittigen Lösungshilfen quasi Komplettlösungen auf Raten zu geben.
Der Thread wird geschlossen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »