Der R2 über dem R2

05.08.2013, 23:03	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Der R2 über dem R2 Hallo, sehe ich das richtig: Angenommen V ein K-VR mit $\begin{eqnarray} V=R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K=R^2 \end{eqnarray}$ . Ist dann V die Menge der Elemente $\begin{eqnarray} (v,w) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} v,w\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Also wäre eine Basis: $\begin{eqnarray} ((e_1,e_1), (e_1,e_2), (e_2,e_1), (e_2,e_2)) \end{eqnarray}$ ? Also die Dimension $\begin{eqnarray} \dim_{\mathbb{R}^2}(\mathbb{R}^2) = 4 \end{eqnarray}$ ? Ist dann der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ das Gleiche wie der $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ? Eigentlich nicht, oder?
05.08.2013, 23:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Der R2 über dem R2 Leider ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ kein Körper. Es gibt also keine Vektorräume über $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ .
05.08.2013, 23:09	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Der R2 über dem R2 Hallo, Das $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ steht ja bei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum für einen Körper. $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist aber kein Körper, nur ein Vektorraum. Daher erübrigt sich eine Antwort auf deine Frage spätestens nach dem "Angenommen". Mfg Michael
05.08.2013, 23:11	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ kein Körper. Ich kann ihn doch mit $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ identifizieren und soweit ich weiß, sind die $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ein Körper.
05.08.2013, 23:17	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ist ein Körper, $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ nicht. Ja, beide sind als $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorräume isomorph, aber so wie du die Frage gestellt hast, kann man das nicht anführen. Übrigens hat der $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ die Dimension 1, während der $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ die Dimension 4 hat. Das passt also alles nicht zusammen. Mfg Michael
05.08.2013, 23:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ eine Multiplikation definieren, mit der man $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ erhält. Die ist allerdings nicht "natürlich", d.h. $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ allein ist als Vektorraum ohne Multiplikation aufzufassen.
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05.08.2013, 23:20	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, da ist wohl noch einiges im Argen. Ich stell direkt mal die nächste Frage... Grüße, Mart

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