dim(VxW)=dim(V)+dim(W)

05.08.2013, 23:26

martha.1981

dim(VxW)=dim(V)+dim(W)

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ betrachte,

dann hab ich ja irgendwie

$\begin{eqnarray*} (e_1,e_1), (e_1,e_2), (e_2,e_1), (e_2,e_2), (e_3,e_1), (e_3,e_2) \end{eqnarray*}$

eine Basis davon. Da minimales Erzeugenensystem.

Das sind aber 2*3 und nicht 2+3 Basisvektoren. Was mach ich falsch?

Grüße, M

05.08.2013, 23:30

watcher

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Hallo,

Zitat:

Das sind aber 2*3 und nicht 2+3 Basisvektoren.

Und was stört dich daran?

Übrigens ist deine Darstellung einer Basis ziemlich ungenau, die Standardbasisvektorn auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ sind verschiedene Vektoren die du gleich bezeichnest.

05.08.2013, 23:31

Che Netzer

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RE: dim(VxW)=dim(V)+dim(W)
Zunächst: Was ist denn z.B. $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten ist mit deiner (ungünstigen) Notation
$\begin{eqnarray*} (e_1,e_1)-(e_1,e_2)=(e_2,e_1)-(e_2,e_2)\,. \end{eqnarray*}$
Dein Erzeugendensystem ist also nicht minimal.

05.08.2013, 23:43

martha.1981

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Aha!

Ja das hab ich nicht gesehen. Mag an der ungünstigen Notation liegen.

@watcher Daran hätte mich gestört, dass eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ 6 Elemente hätte. Nachdem dann alle Basen des Raumes die gleiche Anzahl an Basisvektoren haben, wäre die Dimension = 6 was ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} dim(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3)=dim(\mathbb{R}^2)+dim(\mathbb{R}^3) \end{eqnarray*}$ wäre.

Aber da ich z.B. $\begin{eqnarray*} (e_1,e_1) \end{eqnarray*}$ aus den anderen linear kombinieren kann, passt's ja dann mit den 5.

06.08.2013, 12:15

tmo

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Normalerweise bastelt man sich eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \times W \end{eqnarray*}$ übrigens so:

Man nimmt eine Basis $\begin{eqnarray*} \{v_i\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und eine Basis $\begin{eqnarray*} \{w_j\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \{(v_i,0), (0,w_j) \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \times W \end{eqnarray*}$ . Und so erkennt man auch, dass die Dimensionen sich addieren.

Was du gemacht hast (alle Basiselemente miteinander kombinieren, sodass sich die Dimensionen multiplizieren) erinnert eher an das Tensorprodukt. Das ist aber was grundsätzlich Verschiedenes.

06.08.2013, 14:03

martha.1981

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Ja, okay.

Zeigt man so richtig...?

Sei $\begin{eqnarray*} u_k=v_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\hdots,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{n+j}:=v_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,\hdots ,m \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} u\in V\times W \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u=\sum_{k=1}^nx_ku_k+\sum_{k=n+1}^{n+m}x_ku_k \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} u\in span(u_k)_k \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} V\times W\subset span(u_k)_k \end{eqnarray*}$ und die umgegehrte Inklusion ist klar, da jeweils alle Elemente der Summe aus $\begin{eqnarray*} V\times W \end{eqnarray*}$ sind.

Zeige noch lineare Unabhängigkeit:

Da folgt aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+m} x_ku_k=0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nx_ku_k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^mx_ku_k=0 \end{eqnarray*}$ , da für die ersten n $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ die zweite Komponente gleich 0 und für die restlichen m $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ die erste Komponente gleich 0 ist.
Mit der linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ folgt, dass die ersten n $\begin{eqnarray*} x_k=0 \end{eqnarray*}$ sind und mit den $\begin{eqnarray*} w_j \end{eqnarray*}$ , dass die restlichen m $\begin{eqnarray*} x_k=0 \end{eqnarray*}$ sind. Also linear unabhängig.

Stimmt's?

07.08.2013, 11:34

tmo

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Zitat:

Original von martha.1981
Für $\begin{eqnarray*} u\in V\times W \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u=\sum_{k=1}^nx_ku_k+\sum_{k=n+1}^{n+m}x_ku_k \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} u\in span(u_k)_k \end{eqnarray*}$

Soll das ein Beweis sein? Du wiederholst nur die Behauptung.

Warum gibst du den Basiselementen den neue Namen? Passt dir meine Notation nicht? Du solltest schon mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} (v,w) \end{eqnarray*}$ für ein Element aus $\begin{eqnarray*} V \times W \end{eqnarray*}$ arbeiten.

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