Betragsgleichungen

05.08.2013, 21:41

Kimyaci

Betragsgleichungen

Ich versteh das einfach nicht mit den Betragsgleichungen, in der Vorlesung konnte ich das einfach nicht nachvollziehen...

$\begin{eqnarray*} | x+3 | + |x+4| < 9 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir das mit Fallunterscheidung gemacht, der 1. Fall wäre - glaub ich:

x < - 3.

Und schon hier fängts an; wieso? Und wie muss ich nun die Betragsstriche auflösen? verwirrt

05.08.2013, 21:46

Iorek

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Wie ist der Betrag definiert? Wie löst man dann also $\begin{eqnarray*} |x+3| \end{eqnarray*}$ auf? Wie sieht das bei $\begin{eqnarray*} |x+4| \end{eqnarray*}$ aus?

05.08.2013, 21:54

Kimyaci

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Den Betrag haben wir folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha^2} = |\alpha| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha^2} = \begin{cases}<br /> \alpha, & \alpha \geq 0 \\<br /> - \alpha, & \alpha < 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Na ja, wenn x kleiner als minus drei sein soll, würde ich vorschlagen, dass beide Terme ein negatives Vorzeichen erhalten?

05.08.2013, 22:05

Iorek

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Betrachte die beiden Beträge erst einmal einzeln, löse also jeden einzeln auf:

$\begin{eqnarray*} |x+3|=\begin{cases} x+3 & x\geq ? \\ -(x+3)&x< ?\end{cases} \end{eqnarray*}$

Selbiges für $\begin{eqnarray*} |x+4| \end{eqnarray*}$ . Welche Fälle sind dann interessant, weil sich etwas ändern könnte?

05.08.2013, 22:13

Kimyaci

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Ok. Also für positiv:

$\begin{eqnarray*} x+3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq -3 \end{eqnarray*}$

Für:

$\begin{eqnarray*} -(x+3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < -3 \end{eqnarray*}$

Also ist Fall 1 interessant? verwirrt

05.08.2013, 22:14

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Selbiges für $\begin{eqnarray*} |x+4| \end{eqnarray*}$ .

Du musst beide Beträge so auflösen, um die Fälle letztendlich sehen zu können.

05.08.2013, 22:20

Kimyaci

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Sorry sorry.

Okay also:

$\begin{eqnarray*} |x+3|+|x+4| < 9 \end{eqnarray*}$

Also noch |x+4|

$\begin{eqnarray*} x+4 \ \ \ \ x \geq - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x+4) \ \ \ \ x < - 4 \end{eqnarray*}$

Woran seh ich das jetzt? Okay ich bin nun etwas verwirrt... Aber ich würde sagen für x < - 4 und x < - 3 tut sich nichts, weshalb die Fälle $\begin{eqnarray*} x \geq 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$ interessant wären?

06.08.2013, 06:44

Iorek

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Warum sollte sich für $\begin{eqnarray*} x<-3,x<-4 \end{eqnarray*}$ "nichts" tuen?

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x+3|+|x+4|<9 \end{eqnarray*}$ lässt sich zunächst nicht lösen. Die Beträge müssen also irgendwie weg damit man die üblichen Umformungen machen kann. Wie die Beträge aufgelöst werden, hast du ja nun bestimmt, interessant sind nun die Stellen, wo einer der Beträge "springt", also die Stellen wo das Vorzeichen beim auflösen wechselt.

Beispiel: ist die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} x<-50 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\geq -50 \end{eqnarray*}$ sinnvoll?

Im Fall $\begin{eqnarray*} x<-50 \end{eqnarray*}$ können die Beträge zwar aufgelöst werden, beide müssen miit einem Minuszeichen aufgelöst werden, also $\begin{eqnarray*} -(x+3)+(-(x+4))<9 \end{eqnarray*}$ . Diese Ungleichung kann man jetzt lösen.
Im Fall $\begin{eqnarray*} x\geq -50 \end{eqnarray*}$ können wir aber nichts sagen. Es könnte passieren, dass beide Beträge wieder mit einem Minuszeichen aufgelöst werden müssen, es kann aber auch sein, dass nur einer mit Minus oder auch keiner von beiden mit Minus aufgelöst wird. Die Fallunterscheidung bringt einen also nicht weiter.

Daher betrachtet man die Stellen, an denen einer der Beträge einen Sprung macht, in diesem Fall also bei $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ . Für die Fallunterscheidung springt man jetzt diese Stellen ab, d.h. man betrachtet zunächst den Fall $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ , also alles was kleiner als diese erste "Sprungstelle" ist. Für den zweiten Fall betrachtet man alls, was zwischen der ersten und der zweiten Stelle liegt, $\begin{eqnarray*} -4<x\leq -3 \end{eqnarray*}$ ; für den letzten Fall bleibt dann nur noch $\begin{eqnarray*} -3<x \end{eqnarray*}$ übrig.

09.08.2013, 14:53

Kimyaci

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Ich glaube langsam versteh ich das, bei den Betragsgleichungen habe ich - warum auch immer - die größten Verständnisprobleme.

Also ist die Fallunterscheidung:

1. $\begin{eqnarray*} x \leq - 3 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x \leq - 4 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} x > - 3 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} x > - 4 \end{eqnarray*}$

Könntest du mir vielleicht verraten wieso bei der Definition einmal "kleiner gleich" und einmal "echt kleiner" vorkommt? Oder wieso ist es mal so mal so? verwirrt

09.08.2013, 17:19

Iorek

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Für $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |x+3|=0 \end{eqnarray*}$ , daher spielt es (für $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ ) keine Rolle, ob man $\begin{eqnarray*} |x+3|=x+3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |x+3|=-(x+3) \end{eqnarray*}$ auflöst. In einem der beiden Fälle sollte die Gleichheit enthalten sein, aber es ist egal in welchem Fall man die Gleichheit drin hat.

Deine Fallunterscheidung ist immer noch nicht zielführend, die Fälle überschneiden sich doch. Im Fall $\begin{eqnarray*} x\leq -3 \end{eqnarray*}$ ist der Fall $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ enthalten, also wäre einer der Fälle überflüssig. unglücklich

Da man sich eigentlich nicht 4 Tage mit einer Betragsgleichung aufhalten sollte:
Wir betrachten zunächst den Fall $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ . Warum? Das ist der "kleinste" Punkt, wo mit den Beträgen bzw. einem der Beträge etwas passiert. Für $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} x\leq -3 \end{eqnarray*}$ , also lösen wir die Beträge auf: $\begin{eqnarray*} |x+4|=-(x+4),|x+3|=-(x+3) \end{eqnarray*}$ . Das kann man jetzt einsetzen und die Ungleichung für diesen Fall lösen.

Für den nächsten Fall betrachten wir $\begin{eqnarray*} -4<x\leq -3 \end{eqnarray*}$ . Warum? Nach $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ passiert der nächste Sprung in einem der Beträge bei $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall lösen wir die Beträge auf: $\begin{eqnarray*} |x+4|=x+4,|x+3|=-(x+3) \end{eqnarray*}$ . Einsetzen, Ungleichung lösen.

Der letzte Fall ist dann $\begin{eqnarray*} -3<x \end{eqnarray*}$ . Warum? Weitere Sprünge passieren in den Beträgen nicht mehr, für $\begin{eqnarray*} -3<x \end{eqnarray*}$ können wir also immer die Beträge auflösen: $\begin{eqnarray*} |x+4|=x+4,|x+3|=x+3 \end{eqnarray*}$ . Einsetzen, Ungleichung lösen.

11.08.2013, 20:54

Kimyaci

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Ooook, das muss ich erst mal verdauen - ich beschäftige mich ja nicht seit Tagen damit und hier lass ich mir lieber etwas mehr Zeit zum Antworten. Das einzig Schwierige, für mich, ist es diese Fälle zu finden, das "Auflösen" geht ja ganz easy.

Deswegen beenden wir das an dieser Stelle mal, danke dir! Freude

11.08.2013, 20:58

Iorek

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Zitat:

Original von Kimyaci
Das einzig Schwierige, für mich, ist es diese Fälle zu finden, das "Auflösen" geht ja ganz easy.

Das sollte mit dem oben beschriebenen Vorgehen eigentlich keine großen Probleme machen. Wenn man die jeweiligen Stellen identifiziert hat an denen die Beträge jeweils (einzeln) anders aufgelöst werden, dann springt man von Stelle zu Stelle, angefangen bei der kleinsten.

11.08.2013, 21:01

Kimyaci

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Ich werde es ausprobieren! Sieht auch eigentlich einfach aus.

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