Quadratische Gleichung

05.08.2013, 23:49

Kimyaci

Quadratische Gleichung

Aufgabe:

Für welche Werte von c hat die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x² - (2c-1)x + (c-\frac 1 2) = 0 \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung?

Wäre die Lösung:

$\begin{eqnarray*} - \frac{(2c-1)^2}{4} - (c-\frac 1 2) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

05.08.2013, 23:54

Gast11022013

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Das Minus vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{(2c-1)^2}{4} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Ansonsten stimmt es.
Dies ist die Diskriminante in Action.

05.08.2013, 23:55

Equester

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Was hat das Minus da vorne zu tun?

Soweit richtig -> Nun weiter Augenzwinkern

06.08.2013, 00:02

Kimyaci

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Stimmt, Minus * Minus = Plus.

Oh, dachte das wars schon, na ja der Rest ist ja noch etwas Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2c-1)^2}{4}-(c-\frac 1 2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4c^2 - 2c + 1}{4}-(c-\frac 1 2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4c^2 - 2c + 1-4c+2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4c^2-6c+3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^2-\frac{3}{2}c+\frac 3 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass ich hier keine Lösung rauskriege? verwirrt

06.08.2013, 00:06

Gast11022013

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Du wendest hier die binomische Formel falsch an.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Du hast den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ beim $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ vergessen.

Dann haben wir hier einen klassischen Fall, wo man mit der (richtigen) Gleichung

$\begin{eqnarray*} c^2-2c+\frac34=0 \end{eqnarray*}$

nicht rechnen kann, aber mit

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+\frac34=0 \end{eqnarray*}$

wäre es doch bestimmt möglich. Augenzwinkern

Lass dich in diesem Fall nicht von dem c beirren. Die pq-Formel funktioniert trotzdem.
(Gab hier letztens soger noch einen Thread zu dem Thema.)

smile

06.08.2013, 00:16

Kimyaci

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Achhh, den Faktor 2 hab ich vergessen, wodurch die p-q-Formel nicht mehr funktioniert hat.

Okay für:

$\begin{eqnarray*} c^2-2c+\frac 3 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Wäre:

$\begin{eqnarray*} c_1 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2 = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

Also die im Anfangsthread genannte Gleichung hat genau für 1/2 und 3/2 eine eindeutige Lösung?

$\begin{eqnarray*} L = \left\{ \frac 1 2 , \frac 3 2 \right\} \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2013, 00:24

Gast11022013

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Ach so war das oben von dir gemeint. Ob die obige Gleichung von dir lösbar ist oder nicht hatte ich nicht überprüft.

Genau. Für diese c-Werte hat die Funktion nur eine (doppelte) Nullstelle.

Hier könnte man auch einen alternativen Rechenweg wählen, wenn man weiß, dass wenn eine Funktion zweiten Grades nur eine Nullstelle hat, diese doppelt vorkommen muss. Dann muss dies nämlich ein Extrempunkt sein und somit hier die erste Ableitung gleich Null.

$\begin{eqnarray*} f '_c(x)=0 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Nullstelle in Abhängigkeit des Paramters c lösen und in $\begin{eqnarray*} f_c(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen um den y-Wert zu bestimmen. Dieser muss dann Null sein. Durch geschicktes ausklammern kann man dann die Lösung direkt ablesen.
Ist aber nicht wirklich einfacher, oder schneller. Auf meinem Blatt Papier habe ich vielleicht 10% weniger Schreibarbeit gehabt.

06.08.2013, 00:27

Kimyaci

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Nein, dein Rechenweg klingt auch einleuchtend. Werde ich mir merken.

Danke für die sehr ausführliche Antwort/Mühe! Freude

06.08.2013, 00:32

Gast11022013

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Gern geschehen.
Immer gut wenn man alternativen kennt.

06.08.2013, 00:42

Dopap

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RE: Quadratische Gleichung

Zitat:

Original von Kimyaci

Für welche Werte von c hat die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x² - (2c-1)x + (c-\frac 1 2) = 0 \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung?

irgendwo vermisse ich das Statement:

... genau eine Lösung wenn die Diskriminante Null ist.

Genau für diese und ähnliche Fälle wurde der Begriff ja eingeführt.

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