Quadratische Gleichung - Beweis

06.08.2013, 01:37

Kimyaci

Quadratische Gleichung - Beweis

Beweisen Sie, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2-(a+b)x+ab-c^2=0 \end{eqnarray*}$

für alle Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mindestens eine Lösung besitzt. Für welche Parameter a, b, c besitzt die Gleichung genau eine Lösung?

Wäre hier: p = a+b und q = ab-c²? Für p²/4 - q > 0 hat es ja zwei Lösungen beispielsweise, aber wie beweise ich das?

06.08.2013, 01:58

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quadratische Gleichung - Beweis

Zitat:

Original von Kimyaci

Wäre hier: p = a+b und q = ab-c²? Für p²/4 - q > 0 hat es ja zwei Lösungen beispielsweise

Prinzipiell hast du damit natürlich recht, aber ich würde nicht sagen, dass dies ein Beweis ist. Kann mich aber auch gut irren, weil ich vom Beweisen nicht alt zu viel Ahnung habe.

Allerdings würde ich hier eine quadratische Ergänzung vorziehen.

Dann kannst du relativ leicht darauf hinauslaufen lassen, dass die linke und rechte Seite positiv sein muss und dir dann weitere Gedanken dazu machen.

Wie gesagt, bin ich mir nicht sicher ob dies ein "Beweis" wäre, oder ob dies die geschickteste Möglichkeit ist.

06.08.2013, 02:01

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quadratische Gleichung - Beweis
Alternativvorschlag

Zitat:

Original von Kimyaci

Wäre hier: p = a+b und q = ab-c²? Für p²/4 - q > 0 hat es ja zwei Lösungen beispielsweise, aber wie beweise ich das?

Du hast bei p nicht das negatve Vorzeichen beachtet. Es ist p=-a-b

Für $\begin{eqnarray*} p^2/4-q\geq 0 \end{eqnarray*}$ besitzt die Gleichung mindestens eine Lösung. Setzt doch einfach mal die Ausdrücke für p und q in die p-q-Formel ein. Dann musst du überprüfen, unter welchen Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} p^2/4-q \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Grüße.

06.08.2013, 02:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das sich das Vorzeichen dann bei dem p drehen muss hatte ich übersehen. Freude

Was mich jedoch bei dieser Vorgehensweise stören würde ist, dass man die Lösung einer quadratischen Gleichung, durch die pq-Formel, ja bereits voraussetzen würde.

Wie gesagt, vom beweisen habe ich nicht alt zu viel Ahnung, wusste also nicht ob man das nun darf oder nicht.
In dem Fall wäre natürlich die Anwendung der pq-Formel einfacher.

06.08.2013, 02:21

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Gmasterflash

Erst mal herzlichen Glückwunsch zu deinem Studienplatz. Freude

Bei Beweisen ist es ja generell so, dass man sich fragen muss, was man an Voraussetzungen verwenden darf. Ich habe jetzt einfach mal angenommen, dass Kimyaci folgendes verwenden darf: Wenn $\begin{eqnarray*} D \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung.

06.08.2013, 02:46

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

auch hier sollte das Wort "Diskriminante" fallen.

@gmasterflash: schön, das mit dem Studienplatz smile

da werden wir uns in Zukunft wohl warm anziehen müssen ... Big Laugh

09.08.2013, 16:57

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Nur eine Vermutung, aber kann es sein, dass das Wort absichtlich nicht vorkommt um den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe zu erhöhen?

Ansonsten; danke an alle! Das hab ich nun begriffen (mir war nur etwas unklar was "beweisen" meint)! Freude

09.08.2013, 20:23

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Wort "Diskriminante" soll nicht in der Aufgabe , sondern bei den Helfern erscheinen.

$\begin{eqnarray*} D=b^2-2ab+a^2+4c^2 \end{eqnarray*}$

nun, es gibt bekanntermaßen Lösungen, wenn $\begin{eqnarray*} D\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Kannst du das jetzt zeigen ?

09.08.2013, 21:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wollt ihr denn hier mit der $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Formel und Diskriminanten?
Die Gleichung kann man zu
$\begin{eqnarray*} (x-a)(x-b)-c^2=0 \end{eqnarray*}$
umschreiben.
Dass die Gleichung immer Lösungen hat, kann man nun ablesen (Stichwort: nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen, nach unten verschoben).
Und genau eine Lösung gibt es, wenn die Parabel (welche?) so verschoben wurde, dass der Scheitelpunkt (der in $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2 \end{eqnarray*}$ angenommen wird) auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt.

09.08.2013, 21:32

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Was wollt ihr denn hier mit der $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Formel und Diskriminanten?

Was hast du denn dagegen ?

09.08.2013, 21:42

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das führt zu einer hässlichen Rechnerei, anstatt auch zu beleuchten, WIESO das am Ende erhaltene Ergebnis stimmt (bzw. eine Interpretation zuzulassen).

09.08.2013, 21:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Das führt zu einer hässlichen Rechnerei, ...

Das ist deine Interpretation. Ich fand und finde die Rechnung ziemlich angenehm.

09.08.2013, 21:50

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@Che: nicht jeder findet eine hochschulreife Faktorisierung, kann man auch nicht verlangen.

Allenfalls bei sowas wie x^2+x-6=0 frage ich schon mal nach, ob man das nicht auf die Schnelle faktorisieren könnte.

---------------------------

wenn man bei der Diskriminante $\begin{eqnarray*} b^2-2ab+a^2 +4c^2 \end{eqnarray*}$

die ersten 3 Summanden zusammenfasst, steht schon Alles da.

09.08.2013, 21:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
@Che: nicht jeder findet eine hochschulreife Faktorisierung, kann man auch nicht verlangen.

Etwas wie $\begin{eqnarray*} x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b) \end{eqnarray*}$ würde ich nicht unbedingt als hochschulreif bezeichnen; das würde ich auch von einem Schüler erwarten.

09.08.2013, 22:06

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

die Schüler, die ich habe schaffen das nicht, denn sonst würde ich sie nicht kennen.

Und ein Vorab-Drängen geht auch nicht, wenn er schon mit der p_q Formel beginnt, dann soll er auch weitermachen. Es geht auch um die Pädagogik von Erfolgserlebnissen, die auf selbständiger Lösung beruhen Augenzwinkern

Wichtig ist das Wissen um die Diskriminante.

Hinterher kann man natürlich auch diese Aufgabe unter einem anderen Aspekt neu beleuchten...

Neue Frage »

Antworten »

Quadratische Gleichung - Beweis

Verwandte Themen