Reelle Fourierreihe

06.08.2013, 09:03

Gisellechen

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Reelle Fourierreihe

Meine Frage:
Einen guten Morgen an alle. Der Titel verrät's schon - es geht um Fourierreihen. Sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(t)=(t-\pi)^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \le t \le 2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(t+2\pi)=f(t) \end{eqnarray*}$

1) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe zu f. Für welche x nimmt die Reihe den Funktionswert an?

2) Berechnen Sie mit Hilfe von a) die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben unsere reelle Fourierreihe gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega t) + b_k \cdot \sin(k \omega t)) \end{eqnarray*}$

und wir haben einmal unsere Koeffizienten der Entwicklung von f:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T} + \int_{c}^{c+T} (f(t) \cdot \cos(k \omega t) )dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{T} + \int_{c}^{c+T} (f(t) \cdot \sin(k \omega t) )dt \end{eqnarray*}$

Mein erstes Problem sind die Grenzen. Da ich nicht weiß wie das mit der Periode zusammenhängt die ist ja gegeben mit $\begin{eqnarray*} 0 \le t \le 2\pi \end{eqnarray*}$ aber was ergeben diese im Integranden? Und was ist hier das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und k?

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T} + \int_{c}^{c+T} ((t-\pi)^2 \cdot \cos(k \omega t) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T} + \int_{c}^{c+T} ((t^2-2\pi t+\pi^2) \cdot \cos(k \omega t) )dt \end{eqnarray*}$

Bedanke mich schon mal.

Danke.

LG Giselle

06.08.2013, 09:17

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe
Die Grenzen des Integrals entsprechen den Grenzen der zugrundeliegenden Funktion, also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray*} \omega= \frac {2 \pi}T \end{eqnarray*}$ .

Das k lässt Du einfach stehen, das ist nachher der Index für die Koeffizienten, also a1, a2 etc.

Deine Formel hat noch einen Fehler: vorm Integral steht ein Faktor, kein Summand.

Jetzt kannst Du die ak berechnen, oder?

Viele Grüße
Steffen

06.08.2013, 09:28

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe
Hallo Steffen danke für deine schnelle Antwort.
Damit ist doch mein $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Deine Formel hat noch einen Fehler: vorm Integral steht ein Faktor, kein Summand.

Jetzt kannst Du die ak berechnen, oder?

Ja allerdings, danke. Ich habe es fälschlicherweise von der Fourierreihe die am Schluss entsteht übernommen. Ich werde versuchen das $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ jetzt zu berechnen. Aber bevor ich es tue stimmt alles bis hier hin?

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t-\pi)^2 \cdot \cos(t) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t^2-2\pi t+\pi^2) \cdot \cos(t) )dt \end{eqnarray*}$

LG Giselle

06.08.2013, 09:31

klarsoweit

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RE: Reelle Fourierreihe
Fehlt da nicht ein k in der Formel?

06.08.2013, 09:32

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
Damit ist doch mein $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ ?

Richtig!

Zitat:

Original von Gisellechen
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t-\pi)^2 \cdot \cos(t) )dt \end{eqnarray*}$

Wo ist denn Dein k hin?

06.08.2013, 09:39

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe
Ohje, japs Entschuldigung

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t-\pi)^2 \cdot \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t^2-2\pi t+\pi^2) \cdot \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt)-2\pi t \cos(kt)+\pi^2 \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$
So jetzt aber? Das muss ich wohl partiell integrieren und die Integrale am Besten aufteilen, eine andere Idee habe ich nicht.

LG Giselle

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06.08.2013, 09:47

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
So jetzt aber?

Ja, jetzt aber. smile

smile

Zitat:

Original von Gisellechen
Das muss ich wohl partiell integrieren und die Integrale am Besten aufteilen, eine andere Idee habe ich nicht.

Hört sich gut an.

Viele Grüße
Steffen

06.08.2013, 12:04

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt)-2\pi t \cos(kt)+\pi^2 \cos(kt) )dt=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt))dt -\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} 2\pi t \cos(kt)dt+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \pi^2 \cos(kt)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \pi^2 \cos(kt)dt=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\pi^2}{k} \sin(kt)\right]_0^{2\pi}=\frac{\pi}{k} \sin(2k\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} 2\pi t \cos(kt)dt=-2\int_{0}^{2\pi} t \cos(kt)dt=\left[-\frac{2(k t \sin(k t)+\cos(k t))}{k^2}\right]_0^{2\pi}=-\frac{2(2 k \pi \sin(2k\pi)+\cos(2k\pi))}{k^2}+\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Und das letzte Stück Kotzen

Kotzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt))dt=\left[ \frac{(k^2 t^2-2)\sin(k t)+2kt \cos(k t))}{k^3}\right]_0^{2\pi}=\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

Bis jetzt alles richtig?

06.08.2013, 12:57

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
Bis jetzt alles richtig?

Ja. Denk nun beim Weiterrechnen dran, was zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sin k \cdot 2 \pi \end{eqnarray*}$ für natürliche k ist.

06.08.2013, 15:24

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja. Denk nun beim Weiterrechnen dran, was zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sin k \cdot 2 \pi \end{eqnarray*}$ für natürliche k ist.

Zero. Fallen dann die Terme weg?

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{\pi \sin(2k\pi)}{k}-\frac{2(2 k \pi \sin(2k\pi)+\cos(2k\pi))}{k^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{\pi \sin(2k\pi)}{k}-\frac{4 k \pi \sin(2k\pi)+2\cos(2k\pi)+1}{k^2}+\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{k^2\pi \sin(2k\pi)}{k^3}-\frac{4 k^2 \pi \sin(2k\pi)+2k\cos(2k\pi)+k}{k^3}+\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{-3 k^2 \pi \sin(2k\pi)-2k\cos(2k\pi)-k}{k^3}+\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

So mehr vereinfachen geht nicht, es sei denn ich habe mich irgendwo verrechnet.

LG Giselle

06.08.2013, 15:43

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
Zero. Fallen dann die Terme weg?

Ja. Schreib stattdessen eine Null hin, dann siehst Du's. Mach's am besten gleich zu Anfang, dann ist die Gefahr des Verrechnens nicht so hoch.

Nächste Denksportaufgabe: wie kann man $\begin{eqnarray*} \cos(2k\pi) \end{eqnarray*}$ vereinfachen?

Zitat:

Original von Gisellechen
So mehr vereinfachen geht nicht

Ein k lässt sich später auf jeden Fall noch kürzen. Die endgültige Formel selber wird nicht mehr sehr schlimm aussehen.

Viele Grüße
Steffen

06.08.2013, 17:13

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Gisellechen
Zero. Fallen dann die Terme weg?

Ja. Schreib stattdessen eine Null hin, dann siehst Du's. Mach's am besten gleich zu Anfang, dann ist die Gefahr des Verrechnens nicht so hoch.

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{0-2k\cos(2k\pi)-k}{k^3}+\frac{0+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nächste Denksportaufgabe: wie kann man $\begin{eqnarray*} \cos(2k\pi) \end{eqnarray*}$ vereinfachen?

Mit der Eulerformel?
$\begin{eqnarray*} \cos x = {\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \over 2} \end{eqnarray*}$

LG Giselle

06.08.2013, 17:18

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
Mit der Eulerformel?

Meinetwegen auch mit der. Oder mach Dir einfach wie beim Sinus klar, was der Cosinus bei ganzzahligen Vielfachen von 2pi (also 4pi, 6pi, 8pi...) für Werte annimmt:

Ich bin jetzt leider für den Rest des Abends verplant, wenn's noch Fragen gibt, können wir die gerne morgen bereden. Aber jetzt dürfte es eh nicht mehr schwer sein.

Viele Grüße
Steffen

06.08.2013, 17:29

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Gisellechen
Mit der Eulerformel?

Meinetwegen auch mit der. Oder mach Dir einfach wie beim Sinus klar, was der Cosinus bei ganzzahligen Vielfachen von 2pi (also 4pi, 6pi, 8pi...) für Werte annimmt:

Ja 1 für gerade k's und -1 für ungerade k's nur wie kann ich das dann vereinfachen?

Ok. Danke Steffen und viel Spaß.

LG Giselle

07.08.2013, 08:58

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
1 für gerade k's und -1 für ungerade k's

Nein, noch einfacher.

cos2pi = ...

cos4pi = ...

cos6pi = ...

07.08.2013, 09:07

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nein, noch einfacher.

cos2pi = ...

cos4pi = ...

cos6pi = ...

Ja jeweils 1.

LG Giselle

07.08.2013, 09:08

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
jeweils 1.

Wunderbar. Und damit vereinfacht sich der ganze Kram zu ...

07.08.2013, 09:21

Gisellechen

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RE: Reelle Fourierreihe
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{0-2k\cos(2k\pi)-k}{k^3}+\frac{0+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2k-k}{k^3}+\frac{4\pi k}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1+4\pi}{k^2} \end{eqnarray*}$

LG Giselle

07.08.2013, 09:37

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{0-2k\cos(2k\pi)-k}{k^3}+\frac{0+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2k-k}{k^3}+\frac{4\pi k}{k^3} \end{eqnarray*}$

Im ersten Term ist ein Vorzeichenfehler.

Beim zweiten Term ist das pi im Zähler falsch. Mea culpa - das steckt schon seit gestern um 12:04 im Term. Schau Dir's mal an:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt))dt=\left[ \frac{(k^2 t^2-2)\sin(k t)+2kt \cos(k t))}{k^3}\right]_0^{2\pi}=\frac{(k^2 (2\pi)^2-2)\sin(2\pi k)+4\pi k \cos(2\pi k))}{k^3} \end{eqnarray*}$

Der Vorfaktor ist da unter den Tisch gefallen. Hab ich jetzt erst gesehen.

So wird die Formel noch einfacher...

07.08.2013, 10:11

Leopold

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RE: Reelle Fourierreihe

Zitat:

Original von Gisellechen
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t-\pi)^2 \cdot \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} ((t^2-2\pi t+\pi^2) \cdot \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} (t^2 \cos(kt)-2\pi t \cos(kt)+\pi^2 \cos(kt) )dt \end{eqnarray*}$

Warum multiplizierst du aus? Dadurch wird eine überschaubare zu einer Monster-Rechnung - mit "unendlich vielen" Möglichkeiten, sich zu verrechnen ...

Einfach hier partiell integrieren. Oder noch besser: $\begin{eqnarray*} t - \pi = x \end{eqnarray*}$ substuieren und dann partiell integrieren. Darüberhinaus kann man auch die Geradheit der Funktion einsetzen. Letztlich läuft es auf

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2 \cdot (-1)^k}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 \cos(kx) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

hinaus. Beachte auch, daß der Fall $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ für die Rechnung gesondert betrachtet werden muß.

07.08.2013, 12:07

Gisellechen

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Ich bin bisschen durcheinander gerade verwirrt

verwirrt

LG Giselle

07.08.2013, 12:14

Leopold

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Nun ja, ich wollte dir nur einen Hinweis geben, wie man das Ganze viel einfacher hätte haben können. Aber jetzt solltest du erst den bisher eingeschlagenen Weg zu Ende rechnen. Mit den von Steffen Bühler benannten Korrekturen solltest du bald am Ziel sein.

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