Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra

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Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Moin,

Ich habe eine einen Mengenring

und die -Algebra



mit , wobei die von erzeugte -Algebra ist. Also der Durchschnitt aller -Algebren für die gilt

(ich habe schon gezeigt, dass eine -Algebra ist)

Dabei definiert man:

Weiter sei wobei hier auch gilt .

Es gilt, dass eine Mengenalgebra auf ist.

Ich will nun zeigen, dass



Ich hab versucht das so zu machen:

Beh:

die Richtung kann ich zeigen. Aber bei der Rückrichtung hab ich meine Probleme. Wär nett wenn mir da einer weiter helfen könnte

Gruß Nickel
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Zitat:
Original von Nighel123
Dabei definiert man:

Für mich wäre das keine Definition, sondern eine Folgerung aus und der Durchschnittsstabilität von .

Naja, jedenfalls ist eine Sigma-Algebra, welche enthält, also enthält sie auch die kleinste Sigma-Algebra, welche enthält, d.h. .
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
ahh cool das macht sinn. Jetzt steht da aber weiter unten wieder etwas was ich nicht nachvollziehen kann

Falls , mit , eine Teilmenge von ist, dann gibt es ein mit wobei das dem Prämaß zugeordnete äußere Maß ist.

gibt es da einen Satz der das besagt oder warum wird das so einfach behauptet?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Das ist in etwa der Approximationssatz; hier z.B. in Lemma 1.1.16, auch wenn da nur Wahrscheinlichkeitsmaße betrachtet werden.

Dazu werdet ihr doch aber sicher mal irgendetwas gesagt haben.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Wir sind noch gar nicht bei irgendwelchen Räumen...

Hier wird geschrieben: Dass es zu jedem ein gibt gibt mit ist klar falls

Das Lemma 1.1.16 scheint mir allgemeiner zu sein weil das da gar nicht gefordert wird...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Wo ist eigentlich "hier"? In einem Vorlesungsskript?
Und in der Vorlesung wurde nichts weiter dazu gesagt?

Du könntest dir mal die Definition des äußeren Maßes ansehen.
Anstatt dort unendliche Folgen von Mengen aus dem Ring zu betrachten, kannst du eine solche Folge nach einem genügend großen Glied abbrechen und die verbliebenen Mengen (deren Vereinigung ist dann in ) können beliebig gut approximieren.


Was das mit zu tun haben soll, weiß ich aber auch nicht...
 
 
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Kann ich das vielleicht so begründen:

Sei und
Wenn dann impliziert das (siehe Def von B_m aus Beitrag ganz oben), da .
Da mit und ist auch

Also folgt wegen dass approximierbar sein muss.

P.s. Du meintest in deiner ersten antwort zu meinem Beitrag von ganz oben, dass man anstatt:

auch schreiben kann:



wobei ich nicht ganz verstehe warum man das so umschreiben kann. Aber dann würden in B_m ja nurnoch Mengen vorkommen die aus kommen, und ist eine Teilmenge der approcimierbaren Mengen. Dann wäre es bewiesen ... denke ich.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Was ist ? Soll sein? D.h. ?
Woher kommt dieses ?
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
hab jetzt noch mal die Definitionen eingefügt. Aber bin mir nich sicher ob ich sagen kann dass in nur approximierbare Mengen sind.
Nighel123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
ok das war blödsinn was ich da gemacht habe. Das will ich ja gar nicht zeigen... -.-

Ich poste jetzt noch mal genau was da (im Otto Forster Seite 33) steht. Vielleicht hab ich ja was wichtiges vergessen.

Erst noch einmal die Bezeichnungen:

Obige Bezeichnungen: ist ein Mengenring über



Nun das was im Forster steht:

Zusatz. Mit den obigen Bezeichnungen gilt: Jedes mit ist , d.h. zu jedem existiert ein mit



Das ist klar, falls für ein . Andernfalls betrachte man...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Sigma Algebra = erzeugte sigma Algebra
Zitat:
Original von Nighel123
Ich poste jetzt noch mal genau was da (im Otto Forster Seite 33) steht. Vielleicht hab ich ja was wichtiges vergessen.

Ja, du hast vergessen, das Buch zu nennen.
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