Welche Teilmengen sind Unterräume?

06.08.2013, 14:36

MCarlsen

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Welche Teilmengen sind Unterräume?

Guten Tag.

Aufgabe:

[attach]31146[/attach]

Ist das hier überhaupt ein Vektorraum?

Für einen Vektorraum V muss ja gelten:

1) V ist nicht leer
2) $\begin{eqnarray*} \vec{v} ,\vec{w} \in V => \vec{v}+\vec{w} \in V \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \vec{v} \in V, t \in K => t \cdot \vec{v} \in V \end{eqnarray*}$

Sind bei der Aufgabe auch diese Kriterien zu prüfen, oder muss ein anderer Ansatz gewählt werden?

Dankeschön smile

smile

06.08.2013, 15:09

zweiundvierzig

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Ja, diese Kriterien sind zu prüfen. Was fällt denn relativ schnell auf, wenn man sich $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ anguckt?

06.08.2013, 15:16

MCarlsen

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Hallo zweiundvierzig Wink

Wink

Also mir fällt auf:

-U1 ist nicht leer.
-Alle Elemente von U1 sind reelle Zahlen und mir fällt jetzt kein Gegenbeispiel ein, bei dem wir durch Vektoraddition oder multiplizieren mit einem Skalar nicht mehr in $\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ wären.

Oder wolltest du jetzt auf was ganz anderes hinaus? verwirrt

verwirrt

mfG MCarlsen

06.08.2013, 15:17

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von MCarlsen
Alle Elemente von U1 sind reelle Zahlen

Wie kommst Du auf diese Idee?

06.08.2013, 15:25

MCarlsen

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Zitat:

Wie kommst Du auf diese Idee?

Da steht doch das µ und Lambda aus den reellen Zahlen kommen und 1 ist auch eine und das sind die Elemente von U1.

06.08.2013, 15:50

zweiundvierzig

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Ja, aber diese Elemente stehen in einer Matrix. Wir gucken uns doch hier den Raum der reellen 2x2-Matrizen an und $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ sind Teilmengen davon. Die Frage ist, ob es auch Teilräume sind.

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07.08.2013, 12:50

MCarlsen

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Nun gut, dann gehen wir die Kriterien durch.

Zu 1:

U1 ist offensichtlich nicht leer. Muss man dazu noch mehr schreiben? Bzw. was muss man aufschreiben?

Zu 2:

Wenn ich nun also zwei Matrizen aus U1 addiere, muss das Ergebnis wieder eine reelle 2x2 Matrix sein.
Und wie soll dieses Kriterium denn nicht erfüllt sein? Natürlich wird immer wieder eine reelle 2x2 Matrix bei rauskommen.
Das hatte ich versucht zu erklären mit den Elementen. Wenn ich zwei reelle Zahlen addiere wird das Ergebnis wieder eine reelle Zahl sein. Innerhalb der reellen Zahlen ist die Verknüpfung Addition doch abgeschlossen.

Soll ich das einfach allg. so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ \mu & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda+a & \mu+b \\ \mu+b & 2 \\ \end{pmatrix}: \mu, \lambda, a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu 3:

Aus welchem Körper kommen denn eigentlich die Skalare? Ist das hier vorgegeben?
Auch hier würde ich wieder sagen, dass innerhalb der reellen Zahlen die Verknüpfung Multiplikation abgeschlossen ist.
Und das Kriterium erfüllt ist.

Wie schreibt man das alles mathematisch korrekt auf?

07.08.2013, 12:56

Leopold

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Zitat:

Original von MCarlsen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & \mu \\ \mu & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda+a & \mu+b \\ \mu+b & \color {red} 2 \\ \end{pmatrix}: \mu, \lambda, a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Folgerung?

07.08.2013, 13:21

MCarlsen

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Hallo Leopold smile

smile

Was ich nun aus der 2 folgere?

Ich weiß ehrlich gesagt nichts neues.. Sieht für mich noch immer wie eine reelle 2x2 Matrix aus...
Alle Elemente sind reelle Zahlen und das Element in der 2.Zeile und 2.Spalte ist immer eine natürliche Zahl..

verwirrt

verwirrt

07.08.2013, 13:24

Leopold

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Du scheinst mir die Definition von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ nicht verstanden zu haben. Beschreibe einmal in Worten, wie die Matrizen aussehen, die zu $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ gehören.

07.08.2013, 13:30

MCarlsen

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Achso, jetzt weiß ich, worauf du hinaus wolltest!

Es gehören nur die Matrizen zu U1, die in der 2.Spalte und 2.Zeile eine 1 stehen haben.

Aber ich dachte ich muss prüfen, ob das Ergebnis der Addition von zwei Matrizen aus U1 in M_2(\mathbb R ), also dem Raum der reellen 2x2-Matrizen. Und das ist doch der Fall?

07.08.2013, 13:33

MCarlsen

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Edit:
Aber ich dachte ich muss prüfen, ob das Ergebnis der Addition von zwei Matrizen aus U1 in $\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , also dem Raum der reellen 2x2-Matrizen liegt. Und das ist doch der Fall? Auch wenn das Ergebnis jetzt nicht mehr in U1 liegt.

07.08.2013, 13:36

Leopold

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Zitat:

Original von MCarlsen
Aber ich dachte ich muss prüfen, ob das Ergebnis der Addition von zwei Matrizen aus U1 in M_2(\mathbb R ), also dem Raum der reellen 2x2-Matrizen. Und das ist doch der Fall?

$\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ist qua Definition eine Untermenge von $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß also nicht, was du da genau zeigen willst.

Zitat:

Original von MCarlsen
Achso, jetzt weiß ich, worauf du hinaus wolltest!

Es gehören nur die Matrizen zu U1, die in der 2.Spalte und 2.Zeile eine 1 stehen haben.

Irgendwie nicht sauber formuliert! Die von dir genannte Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, daß eine Matrix zu $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ gehört. Aber da die notwendige Bedingung verletzt ist ...

07.08.2013, 13:57

MCarlsen

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ist qua Definition eine Untermenge von $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß also nicht, was du da genau zeigen willst.

Und wo steht das genau? Wieso haben sie dann nicht einfach geschrieben: "Ist U1 ein Vektorraum?" Dann hätte ich ja sofort gesehen, dass bei Addition der Elemente aus U1, das Ergebnis nicht mehr in U1 liegt. Aber da steht ja ".. ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ " deswegen dachte ich es es könnte sein, dass bei Addition oder Multiplikation mit einem Skalar, das Ergebnis nicht mehr in $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ liegt.
Aber so ist der Bezug zu $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ ja ganz weg... Warum geben sie mir dann diesen Satz "Unterraum VON $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ "?

Naja, so macht das aber mehr Sinn, aber es war etwas verwirrend.

Zu U1 gehören alle reellen Matrizen, die in der 2.Spalte und 2.Zeile eine 1 stehen haben? So besser? Oder wie hättest du es aufgeschrieben?

Dankeschön Leopold smile

smile

07.08.2013, 14:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von MCarlsen
Und wo steht das genau?

Leopold hat es schon gesagt: per Definition gilt das. Die Definition von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ besagt, dass wir reelle 2x2-Matrizen mit gewissen Zusatzeigenschaften betrachten, also ist $\begin{eqnarray*} U_1 \subset M_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MCarlsen
Zu U1 gehören alle reellen Matrizen, die in der 2.Spalte und 2.Zeile eine 1 stehen haben? So besser? Oder wie hättest du es aufgeschrieben?

Hier hast Du die Dimension und die Diagonalenbedingung* unterschlagen.

Dann zeig doch nun mal genau anhand eines Gegenbeispiels, dass i.a. eine der Unterraumeigenschaften verletzt ist.

*Edit: Gemeint war Kodiagonale.

07.08.2013, 14:10

MCarlsen

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Grüß dich zweiundvierzig smile

smile

Zitat:

Dann wäre die Menge schon keine Teilmenge der Obermenge mehr, mithin auch kein Unterraum. Es geht aber in der Aufgabe darum zu sehen, dass es eben Teilmengen von Vektorräumen gibt, die keine Unterräume sind.

Okay, das macht Sinn. Dankeschön.

Zitat:

Dann zeig doch nun mal genau anhand eines Gegenbeispiels, dass i.a. eine der Unterraumeigenschaften verletzt ist.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in U_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A + A = B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B ! \in U_1 \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

07.08.2013, 14:13

zweiundvierzig

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Ja, genau. Wie sieht es mit der zweiten Menge aus?

07.08.2013, 14:24

MCarlsen

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Zitat:

Ja, genau.

Yippie

smile

Zitat:

Wie sieht es mit der zweiten Menge aus?

Also in U2 sind alle Matrizen enthalten, die diese Gleichung erfüllen: AX = XB.

Jetzt muss ich wissen, wie allg. die Matrix X aussieht, um die Kriterien zu prüfen.

Aber ich komme nicht auf X.. Ob ich nun die Inverse von A oder B jeweils rechts dranmultipliziere..

Kannst du mir einen Tipp geben?

07.08.2013, 14:33

zweiundvierzig

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Nimm mal an, $\begin{eqnarray*} AX = XB \end{eqnarray*}$ . Was ist für Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation jetzt zu prüfen?

07.08.2013, 14:44

MCarlsen

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Zu prüfen ist:

$\begin{eqnarray*} t \in K; AX,XB \in M_2({\mathbb{R}}): t \cdot AX \in M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t \cdot XB \in M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt gar nicht wissen, wie X aussieht?

Wie gehts weiter? Leider schaffe ich es noch nicht alleine..

07.08.2013, 14:57

zweiundvierzig

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Nein, das ist nicht zu prüfen. Zu prüfen ist, dass für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} X \in U_2 \implies \alpha X \in U_2 \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen also $\begin{eqnarray*} X \in U_2 \end{eqnarray*}$ an, d.h. $\begin{eqnarray*} AX = XB \end{eqnarray*}$ . Nun betrachten wir $\begin{eqnarray*} A(\alpha X) \end{eqnarray*}$ . Wie können wir das umformen?

07.08.2013, 15:38

MCarlsen

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Oh Gott, tut mir Leid. Ich meinte natürlich U2 anstatt $\begin{eqnarray*} M_2({\mathbb{R}}) \end{eqnarray*}$ Das hatte ich ja verstanden.
Mit dem Prüfen von $\begin{eqnarray*} AX, XB \in U2 \end{eqnarray*}$ hatte ich noch einen Denkfehler, aber jetzt im nachhinein ist es klar.

Zitat:

Nun betrachten wir $\begin{eqnarray*} A(\alpha X) \end{eqnarray*}$ . Wie können wir das umformen?

Soll ich die Gleichung AX = XB mit ins Spiel bringen.
Oder kann man das Alpha auch vor das a schreiben.
Oh, tut mir Leid zweiundvierzig ich bin dumm.. zumindest weiß ich nicht, wo wir hinwollen.. Das ist das erste mal das ich diesen Aufgabentyp bearbeite. Und ich habe keine Lösung. Aber ich will mich durchbeißen und es verstehen.

07.08.2013, 15:40

zweiundvierzig

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Nur nicht verzagen, aller Anfang ist immer schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von MCarlsen
Oder kann man das Alpha auch vor das a schreiben.

Das sieht gut aus. Wie geht es dann weiter?

08.08.2013, 14:31

MCarlsen

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$\begin{eqnarray*} A(\alpha X) = \alpha(AX) = \alpha(XB) = X(\alpha B) \end{eqnarray*}$

A und B kenne ich. Das muss ich doch bestimmt mit einbeziehen. Soll ich das Alpha mit A und B multiplizieren?..
Also hier: $\begin{eqnarray*} (\alpha A)X = X(\alpha B) \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht ganz weiter...

08.08.2013, 15:29

zweiundvierzig

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Das sieht gut aus und ist auch schön aufgeschrieben, ein "Schritt" fehlt allerdings. Überlege Dir worauf wir hinauswollen. Wir gehen davon aus, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine bestimmte Eigenschaft hat ( $\begin{eqnarray*} AX = XB \end{eqnarray*}$ ) und wollen zeigen, dass diese Eigenschaft auch für $\begin{eqnarray*} \alpha X \end{eqnarray*}$ gilt. Was ist also noch zu tun?

08.08.2013, 16:09

MCarlsen

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$\begin{eqnarray*} A(\alpha X) = \alpha(AX) = \alpha(XB) = (\alpha X) B \end{eqnarray*}$

War das der besagte Schritt?

08.08.2013, 16:10

zweiundvierzig

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Genau.

smile

Wie gehen wir nun zur Abgeschlossenheit gegenüber Addition vor?

09.08.2013, 15:01

MCarlsen

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Zitat:

Genau.

smile

Super, das freut mich! Vielen lieben Dank bis hierhin schonmal zweiundvierzig smile

smile

Zitat:

Wie gehen wir nun zur Abgeschlossenheit gegenüber Addition vor?

Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} X,Y \in U_2 \end{eqnarray*}$ und wollen prüfen, dass $\begin{eqnarray*} X+Y \in U_2 \end{eqnarray*}$
Mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} AX = XB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AY = YB \end{eqnarray*}$ muss folgen, dass $\begin{eqnarray*} A(X+Y) = (X+Y)B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A(X+Y) = (X+Y)B \Leftrightarrow AX + AY = XB + YB \Leftrightarrow XB + YB = XB + YB \Leftrightarrow AX + AY = AX + AY \end{eqnarray*}$

So in etwa?

09.08.2013, 15:10

zweiundvierzig

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Du hast richtig gedacht, aber man schreibt das etwas transparenter auf:

Es gilt $\begin{eqnarray*} AX = XB, AY = YB \end{eqnarray*}$ (*) nach Annahme. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} A(X + Y) = AX + AY \stackrel{(*)}{=} XB + YB = (X + Y)B \end{eqnarray*}$

09.08.2013, 15:20

MCarlsen

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Oh ok, ich habe da noch gar keine Übung drin, aber ich kann es nachvollziehen.

Haben wir die Aufgabe nun vollständig gelöst?

09.08.2013, 15:49

zweiundvierzig

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Noch bleibt zu erwähnen, warum $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ nichtleer ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.08.2013, 12:56

MCarlsen

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Und dazu reicht es, wenn man ein Beispiel liefert, oder?

Also zum Beispiel die 2x2-Nullmatrix, denn sie erfüllt AX = XB, und somit ist U2 nicht leer?

14.08.2013, 18:17

zweiundvierzig

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Genau.

smile

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