Dichter Funktionsgraph

06.08.2013, 18:30	Grüner	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichter Funktionsgraph Hallo, ich suche gerade eine messbare Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit folgenden Eigenschaften: 1. $\begin{eqnarray} \left\Vert f \right\Vert_{L_1}=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist injektiv 3. Der Graph von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \Gamma(f) \end{eqnarray}$ ist dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ hat jemand eine Idee?
06.08.2013, 18:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichter Funktionsgraph Schon Eigenschaften 1 und 2 können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Wozu brauchst du das überhaupt?
06.08.2013, 18:37	Grüner	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt... dann ohne Injektivität. Ich wollte schauen obs geht Sodass man jedem Wert in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ durch eine Funktion Beliebig nahe kommt.
06.08.2013, 19:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lässt du die Funktion außerhalb von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ verschwinden. Die Messbarkeit und 1. sind damit schon gewährleistet. Als nächstes kannst du $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ in abzählbar unendlich viele disjunkte dichte Teilmengen $\begin{eqnarray} Q_n \end{eqnarray}$ zerteilen. Ist nun $\begin{eqnarray} (q_n) \end{eqnarray}$ eine Äbzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , betrachte $\begin{eqnarray} \sum_nq_n\chi_{Q_n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ die Indikatorfunktion bezeichnet.
07.08.2013, 15:12	Grüner	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Für die $\begin{eqnarray} Q_n \end{eqnarray}$ hab ich auch eine Idee: $\begin{eqnarray} q\in Q_n \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ im gekürzten Bruch von $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist der Zähler durch $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ aber nicht durch $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \end{eqnarray}$ teilbar das natürlich mit $\begin{eqnarray} n=0,1,2,\ldots \end{eqnarray}$ Dann hat man: $\begin{eqnarray} Q_0=\left\{\frac{1}{3},\frac{3}{7},\frac{95}{107},\frac{7}{9},\ldots\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q_1=\left\{\frac{2}{3},\frac{6}{7},\frac{30}{107},\frac{34}{9},\ldots\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vdots \end{eqnarray}$ usw. eben
07.08.2013, 15:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dürfte stimmen
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