Polynom 3. Grades - Nullstelle

06.08.2013, 22:49

küb

Polynom 3. Grades - Nullstelle

Meine Frage:
Hallo Leute,

habe eine Frage zur Nullstellenberechnung von Polynomfunktionen 3. Grades.

Also ich sollte die Extremstelle ermitteln, habe die Ableitung gebildet und muss diese Ableitung gleich 0 setzen.. Also die Nullstelle der Ableitung ermitteln..

$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mich bisschen im Internet eingelesen und überall stand, dass ich die Nullstelle "erraten" muss..
Wie soll das denn funktionieren?
Ich habe mir die Nullstelle schon mithilfe meines Rechners berechnen lassen, damit ich schon mal meine Lösung kenne.. (x = 1/2)
Aber wie komme ich denn von selbst darauf?

Meine Ideen:

06.08.2013, 23:04

Gast11022013

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Ist dies die Ableitung, oder die original Funktion?

Man errät hier eine Nullstelle damit man die Polynomdivision anwenden kann. Dadurch reduziert man den Grad von x³ auf x² um die pq-Formel anwenden zu können.

Normalerweise kann man eine Nullstelle recht schnell "erraten" indem man die Teiler des Absolutgliedes prüft.
Das Absolutglied ist die Konstante Zahl in der Gleichung.
Hier wäre es die -8. Da jedoch diese Gleichung keine ganzzahlige Nullstelle hat, würde dies hier auch nicht funktionieren.
Hätte es eine ganzzahlige Nullstelle, dann würdest du jetzt die Teiler der -8 in die Gleichung einsetzen und gucken wann die Null rauskommt.

Also:

1,-1,2,-2,4,-4,8,-8

Hier wäre die Nullstelle übrigens bei x=-1/2 lediglich in der Polynomdivision würde man dann durch

$\begin{eqnarray*} (x+\frac12) \end{eqnarray*}$ dividieren.

Um hier die Nullstelle zu finden, wenn du weißt, dass sie nicht ganzzahlig ist, könntest du zum Beispiel eine Wertetabelle anlegen und gucken wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Dann wüsstest du, dass zwischen diesen beiden Werten eine Nullstelle liegt.

Zum Beispiel:

f(-1)=22

f(0)=-8

Hier hätten wir eine Vorzeichenwechsel und wir würden somit wissen, dass die Nullstelle zwischen -1 und 0 liegen muss.
Leider kommt es dann eher selten vor, dass wir einen "schönen" Bruch wie 1/2 haben. Eher ganz ekelige Nullstellen mit zig Nachkommastellen die man schon gar nicht mehr erraten könnte.

Hier würde dann das Newtonverfahren helfen. Eine Näherung für Nullstellen.

06.08.2013, 23:12

original

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RE: Polynom 3. Grades - Nullstelle

Zitat:

Original von küb

Also ich sollte die Extremstelle ermitteln, verwirrt

habe die Ableitung gebildet und muss diese Ableitung gleich 0 setzen..
Also die Nullstelle der Ableitung ermitteln.. verwirrt

$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0 \end{eqnarray*}$

meine Lösung (x = 1/2)
Aber wie komme ich denn von selbst darauf?

x=1/2 ist nicht Lösung deiner kubischen Gleichung

und auch die Ableitung dieses Terms hat nicht diese Nullstelle

.. oh - zu spät Prost

aber noch eine Frage an Gmasterflash zu:
"Hätte es eine ganzzahlige Nullstelle,
dann würdest du jetzt die Teiler der -8 in die Gleichung einsetzen
und gucken wann die Null rauskommt."
gilt das auch, wenn - wie hier - die Vorzahl von x^3 nicht 1 ist?
verwirrt

06.08.2013, 23:15

küb

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Das ist schon die Ableitung gewesen.. Also die Nullstelle der Ableitung wäre ja meine Extremstelle gewesen smile

Okay, das mit den ganzzahligen Nullstellen hab ich verstanden smile

Und stimmt, die Nullstelle ist negativ, danke Big Laugh

Ich werde dann wohl die Variante mit der Wertetabelle nehmen müssen..

Danke für die ausführliche Hilfe Freude

06.08.2013, 23:18

ullim

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RE: Polynom 3. Grades - Nullstelle
Hi,

die Lösung ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es natürlich die Möglichkeit, Nullstellen numerisch zu ermiiteln, z.B. Newton Verfahren. Außerdem gibt es die Formeln von Cardano, mit der man Nullstellen von Polynomen dritten Grades bestimmen kann. Hat man eine Nullstelle, kann man mit Polynomdivision ein Polynom zweiten Grades ableiten und die restlichen Nullstellen ermitteln.

06.08.2013, 23:19

micha_L

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RE: Polynom 3. Grades - Nullstelle
Hallo,

Zitat:

Original von original
[...]
$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0 \end{eqnarray*}$
[...]
aber noch eine Frage an Gmasterflash zu:
"Hätte es eine ganzzahlige Nullstelle,
dann würdest du jetzt die Teiler der -8 in die Gleichung einsetzen
und gucken wann die Null rauskommt."
gilt das auch, wenn - wie hier - die Vorzahl von x^3 nicht 1 ist?
verwirrt

Hm, du solltest mal $\begin{eqnarray*} y=-2x \end{eqnarray*}$ setzen, wodurch sich deine Frage relativiert!
Das Originalpolynom ist übrigens nicht primitiv, will sagen, der Inhalt ist keine Einheit.

Mfg Michael

06.08.2013, 23:23

Gast11022013

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Zitat:

gilt das auch, wenn - wie hier - die Vorzahl von x^3 nicht 1 ist?

Ob der Vorfaktor nun -8 oder 1 ist ändert ja ohnehin nichts an den Nullstellen, aber du hast recht, normalerweise wird vorher die 1 erzeugt und dann dies mit dem Absolutglied angewandt, außer ich vertue mich jetzt gerade. verwirrt

@küb: Das mit der Wertetabelle ist, wie beschrieben, sehr ungenau. Eigentlich leitet das anlegen einer Wertetabelle das Newtonverfahren ein, weil man so einen geeigneten Startwert ermitteln kann.

06.08.2013, 23:36

küb

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Ok, dann versuche ich es mit dem Newton-Verfahren.

06.08.2013, 23:37

original

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Zitat:

Original von Gmasterflash

normalerweise wird vorher die 1 erzeugt und dann dies mit dem Absolutglied angewandt

eben:

$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0 \end{eqnarray*}$

: (-8) =>

$\begin{eqnarray*} x^{3} -2x^{2}+ \frac{3}{4} x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

und da siehst du ja dann echt sofort,
dass es hier keine ganzzahligen Lösungen haben kann.. unglücklich

06.08.2013, 23:42

micha_L

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Hallo,

Zitat:

Original von original

Zitat:

Original von Gmasterflash

normalerweise wird vorher die 1 erzeugt und dann dies mit dem Absolutglied angewandt

Veto!

Es könnte eine ganzzahlige Lösung geben.

$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0\iff(-2x)^3+4(-2x)^2+3(-2x)-8=0 \end{eqnarray*}$

An der umgeformten Gleichung kann man eine Lösung raten!

Mfg Michael

07.08.2013, 00:05

original

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$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von micha_L

Veto!

Es könnte eine ganzzahlige Lösung geben. unglücklich

$\begin{eqnarray*} -8*x^{3}+16*x^{2}-6*x-8 = 0\iff(-2x)^3+4(-2x)^2+3(-2x)-8=0 \end{eqnarray*}$

nein zu deinem Veto - denn
$\begin{eqnarray*} x^{3} -2x^{2}+ \frac{3}{4} x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
hat für x keine ganzzahlige Lösung ( weder die Teiler -1 noch +1 kommen in Frage)

aber deine Umformungs-Idee ist trotzdem hübsch:

$\begin{eqnarray*} u^3+4u^2+3u-8=0 \end{eqnarray*}$
hat für u ja die ganzzahlige Lösung u=1 ..
was dann (wegen u=-2x sofort zur (nicht ganzzahligen smile

) Lösung für x führt ..
Freude

07.08.2013, 09:37

Fragen über Fragen

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Ich verstehe nicht ganz, warum ihr den Leitkoeffizienten auf 1 reduziert, vor allem wenn dadurch nicht alle Koeffizienten ganzzahlig bleiben und man damit das Teilbarkeitskriterium nicht mehr anwenden kann.

Beispiele:

Das Polynom (3x-1)(x-3) = 3x²-10x+3 hat die ganzz. Nst. x=3.
Wenn ich euch richtig verstehe, betrachtet ihr stattdessen x² - 10/3 x + 1 und da dieses weder 1, noch -1 als Nullstelle hat, hat das Polynom keine ganzzahlige Nullstelle?

Oder auch (2x-1)(x-1) = 2x² - 3x +1 mit der ganzen Nullstelle x=1. Bei x² - 3/2 x + 1/2 könnt ihr jetzt aber nicht mehr mit dem Teilbarkeitskriterium für ganzzahlige Nullstellen arbeiten.

07.08.2013, 10:12

Leopold

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Oft kann man Nullstellen anders herausbekommen, etwa wenn das Polynom in faktorisierter Form vorliegt. Leider wird diese faktorisierte Form von vielen Schülern gnadenlos zerstört, indem reflexhaft ausmultipliziert wird.
Ob eine solche Situation auch hier gegeben ist, kann man nicht beurteilen, solange die originale Aufgabenstellung nicht bekannt ist.

07.08.2013, 10:17

Slash123

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Es gibt doch sogar ein Kriterium für rationale Nullstellen. Hat man ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (nicht notwendigerweise normiert):

$\begin{eqnarray*} P = a_n X^n + ... + a_0 \end{eqnarray*}$

und eine rationale, vollständig gekürzte Nullstelle $\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} = x_0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ein Teler von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . Dies verallgemeinert das Raten der ganzzahligen Nullstellen.

In diesem Falle bekommt man so auch die Nullstelle $\begin{eqnarray*} -\frac12 \end{eqnarray*}$ raus.

07.08.2013, 11:02

Dopap

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Zitat:

Original von original
aber deine Umformungs-Idee ist trotzdem hübsch:

$\begin{eqnarray*} u^3+4u^2+3u-8=0 \end{eqnarray*}$

gefällt mir am besten. Man beginnt nun den Test immer mit den kleinen Teilern und wird meist schnell fündig.
Diese Substitution wird meist gut verstanden, da es eine Rückführung auf das schon bekannte normierte Polynom ist.

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