Welche Zahlen gehören zur Cantor-Menge?

07.08.2013, 13:03

Kante

Welche Zahlen gehören zur Cantor-Menge?

Hallo, ich lerne gerade für meine Mathe-Klausur und dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen:

Ich kann die Cantor-Menge graphisch darstellen und auch die Dimension berechnen, aber ich weiß nicht, wie ich herausfinde, welche Zahlen zur Cantor-Menge gehören.

Ich habe die Zahlen 1/9, 4/243/, 24/27, 57/81, 36/81. 4/243 und 36/81 gehören nicht dazu, aber warum?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Lg

07.08.2013, 14:41

HAL 9000

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Letzten Endes gehören genau die Zahlen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k 3^{-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k\in\{0,2\} \end{eqnarray*}$ zur Cantormenge.

Man könnte also sagen, alle Zahlen $\begin{eqnarray*} [0{,}a_1a_2a_3\ldots]_3 \end{eqnarray*}$ (Zahlenbasis 3) gehören dazu, die nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehen. Aber Vorsicht: Endliche "Trinär"-Brüche besitzen zwei Darstellungen, wie etwa

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} = [0{,}01]_3 = [0{,}00222\ldots]_3 \end{eqnarray*}$

die zweite Darstellung bewirkt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ dann doch auch zur Cantormenge gehört.

07.08.2013, 15:11

Kante

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Trotzdem verstehe ich nicht, warum gerade die beiden Brüche 4/243 und 36/81 nicht dazu gehören sollen?!

07.08.2013, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kante
Trotzdem verstehe ich nicht, warum gerade die beiden Brüche 4/243 und 36/81 nicht dazu gehören sollen?!

Anscheinend habe ich für die Mülltonne geschrieben... Schreib doch mal die Trinärbruchdarstellung dieser beiden Zahlen auf!

07.08.2013, 15:51

Kante

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Sorry, aber ich hab Mathe nicht wirklich drauf und blicke durch das, was du gesagt hast, überhaupt nicht durch. Ich habe mir schon viel im Internet dazu durchgelesen, aber da so etwas in unserer Klausur drankommen könnte, dachte ich, dass es eine einfache Erklärung dafür geben müsste...

07.08.2013, 16:00

HAL 9000

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Die Nenner all deiner Zahlen sind alles Dreierpotenzen, z.B. ist

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{243} = \frac{4}{3^5} \end{eqnarray*}$ .

Also ist im Dreierbasissystem geschrieben

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{243} = \frac{[11]_3}{3^5} = [0{,}00011]_3 \end{eqnarray*}$ ,

denn so wie die Division durch $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ das Komma in der Dezimaldarstellung um $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Plätze nach links verschiebt, so geschieht analoges für Trinärbrüche bei Division durch $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ .

So, und $\begin{eqnarray*} [0{,}000{\color{red}1}1]_3 \end{eqnarray*}$ besteht eben nicht nur aus Ziffern 0 und 2, selbst dann nicht, wenn man (s.o.) die letzte 1 durch 0222... ersetzt, also in der Alternativdarstellung

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{243} = [0{,}000{\color{red}1}02222\ldots ]_3 \end{eqnarray*}$ .

Wenn dein " Ich habe mir schon viel im Internet dazu durchgelesen" wenigstens teilweise stimmt, dann solltest du aber langsam was damit anfangen können.

07.08.2013, 16:12

Kante

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Also meinst du ich müsste jetzt alle Brüche erst ins Dreierbasissystem umschreiben, um auf die Antwort zu kommen? Das erscheint mir für unsere Verhältnisse etwas zu aufwändig, gibt es keine andere Methode, um schneller herauszufinden, ob eine Zahl zur Cantor-Menge gehört oder nicht?

07.08.2013, 16:17

HAL 9000

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Diese unüberlegte, aus purer Faulheit entsprungene Rumgenöle "Gibt's nicht was einfacheres?" reicht mir jetzt. Mal dir doch ein Bild der Cantormenge - wenn du genau genug malst, ersetzt es vielleicht die Rechnung. Finger2

07.08.2013, 17:14

Che Netzer

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Wenn eine Aufgabe wie "Stellen Sie die folgenden Zahlen im Ternärsystem dar" gestellt wird, ist das doch auch vollkommen normal.
Das hier ist eine der hübschesten Motivationen für solche Aufgaben, die ich je gesehen habe...

Die Zahlen sind hier ja auch noch sehr human gewählt; in einigen kann man noch ein paar Dreien herauskürzen und die Nenner sind wie schon erwähnt immer Dreierpotenzen.
Man könnte die Aufgabe auch so formulieren:

Zitat:

Stellen Sie die folgenden Zahlen im Ternärsystem dar und überprüfen sie, in welchen Darstellungen die Eins nicht oder als letzte Ziffer (ungleich Null) auftritt.

08.08.2013, 08:07

Kante

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So etwas haben wir aber noch nie gemacht, deswegen glaube ich nicht, dass wir das so machen müssen. Es geht um Fraktale, aber wohl ziemlich oberflächlich. Es ist auch nicht so, dass ich mich nicht damit beschäftigen möchte, aber ich kapiere das einfach nicht, ich brauche meine Mathekenntnisse, um sie später Grundschulkindern beizubringen und da reicht mit die Didaktik vollkommen.

08.08.2013, 09:41

Leopold

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Zitat:

Original von Kante
ich brauche meine Mathekenntnisse, um sie später Grundschulkindern beizubringen und da reicht mit die Didaktik vollkommen.

Ein fundamentaler Irrtum!
Ob nun die Kenntnis des Cantorschen Diskontinuums für Grundschullehrer wichtig ist, darüber kann man trefflich streiten. Über eines jedoch nicht: Für jeden Lehrer - und damit meine ich jede Person, die anderen Personen etwas beibringt, also auch den Klavierlehrer, den Fahrlehrer, den Meister im Betrieb und so weiter - ist es entscheidend, daß er voll in der Materie drin ist und weit über den Horizont dessen, worin er seine Schüler unterweist, blickt. Die Schüler merken es bald, wenn der Lehrer in seinem Wissen und seinen Fähigkeiten immer nur gerade zwei Schritte weiter ist als sie. Vor allem, wenn er einmal strauchelt, verliert er jede Autorität.
Natürlich gibt es immer Lehrer, die diesen hohen Anforderungen nicht genügen. Das sind eben die schlechten Lehrer.

Daß ich mich damit nicht gegen eine sinnvolle Didaktik ausspreche, versteht sich von selbst. Es gehört eben beides zusammen. Als Mathematiker würde ich sagen, es sind beides notwendige Bedingungen für einen guten Lehrer: hohe Fachkompetenz und hohe didaktische Kompetenz. Und selbstverständlich reicht auch das noch nicht ...

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