Globale Extremstelle?

07.08.2013, 15:30

küb

Globale Extremstelle?

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe die Funktion

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{(3-x)^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: [0,3[ \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Mein lokales Minimun, was auch gleichzeitig mein globales Minimum ist, liegt bei x=1.

Meine Frage wäre jetzt, wie es mit dem globalen Maximum aussieht..
Da die 3 nicht mehr in meinem Intervall enthalten ist, weiß ich nicht genau, ob ich jetzt einfach x=0 nehmen soll.. Oder x=2?

Meine Ideen:

07.08.2013, 15:44

Che Netzer

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RE: Globale Extremstelle?
Hier kannst du $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow3}\frac{x-2}{(3-x)^2} \end{eqnarray*}$ betrachten.

07.08.2013, 15:54

küb

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RE: Globale Extremstelle?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow3}\frac{x-2}{(3-x)^2} = \infty \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

07.08.2013, 15:56

Che Netzer

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RE: Globale Extremstelle?
Ja. Und ich hoffe, du hast dir dabei auch Gedanken um das Vorzeichen gemacht.

Kannst du jetzt etwas darüber aussagen, ob die Funktion ein globales Maximum hat?

07.08.2013, 16:14

küb

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RE: Globale Extremstelle?
Wie meinst du das mit dem Vorzeichen?

Man kann ja unendlich nicht als Maximum bezeichnen..
Also würde ich sagen, dass die Funktion kein globales Maximum hat.

07.08.2013, 16:55

Che Netzer

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RE: Globale Extremstelle?
Ob du dir überlegt hast, wieso gerade
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow3}\frac{x-2}{(3-x)^2} = \infty \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow3}\frac{x-2}{(3-x)^2} = -\infty \end{eqnarray*}$
ist.

Aber ja, es gibt kein globales Maximum, denn die Funktionswerte können beliebig groß werden.

07.08.2013, 17:15

küb

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RE: Globale Extremstelle?
Achso, ja, hab ich mir überlegt gehabt ^^

Kurze Frage..
Wenn ich eine andere Funktion hätte im Intervall R -> R,
und der Graph für x -> +/- unendlich gegen 0 geht, dann ist das mein globales Minimum? Also arbeite ich in solchen Fällen immer mit dem Grenzwert?

07.08.2013, 17:26

Che Netzer

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RE: Globale Extremstelle?

Zitat:

Original von küb
Achso, ja, hab ich mir überlegt gehabt ^^

Gut, denn manche schreiben einfach sofort Unendlich hin, sobald der Nenner gegen Null geht Augenzwinkern

Zitat:

Wenn ich eine andere Funktion hätte im Intervall R -> R,
und der Graph für x -> +/- unendlich gegen 0 geht, dann ist das mein globales Minimum? Also arbeite ich in solchen Fällen immer mit dem Grenzwert?

Jein. Du betrachtest die Werte aller lokalen Extrema (die auch auf dem Rand liegen können, wenn der Randpunkt zum Definitionsbereich gehört!) und die Grenzwerte der Funktionswerte an den Randstellen (inklusive $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ ). Wenn einer der lokalen Maximalwerte größer gleich den Grenzwerten an den Rändern ist, hast du eine globale Maximalstelle.
D.h. deine letzte Vermtung war richtig, die erste nicht ganz, denn eine Funktion kann ja sowohl negative als auch positive Werte annehmen. Was soll da überhaupt das Minimum sein? Grenzwerte an Randstellen außerhalb des Funktionsbereiches sind das im allgemeinen nicht, denn die werden ja nicht angenommen.

07.08.2013, 17:58

küb

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RE: Globale Extremstelle?
Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe..

Ich habe die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x)=(3+4*(x-1)^{2} )*e^{-x^{2} } \end{eqnarray*}$

R -> R

Ich habe ein Maximum bei x= -0,5

Kann ich sagen, dass es kein globales Minimum gibt, da es bei +/- unendlich wäre?

07.08.2013, 18:13

Che Netzer

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RE: Globale Extremstelle?
Nein, so ginge das nicht. Zumindest von der Formulierung her.
Nachdem du alle lokalen Minimalwerte bestimmt hast, kannst du feststellen, dass sie alle größer als Null sind. Da besagte Grenzwerte jedoch Null sind, kann es kein globales Minimum geben (denn die Funktionswerte können kleiner als jede beliebige positive Zahl werden).

07.08.2013, 18:36

küb

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RE: Globale Extremstelle?
Achsoo, okay Big Laugh

07.08.2013, 18:41

Leopold

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Ich glaube, daß küb es richtig meint, auch wenn er sich etwas unbeholfen ausdrückt.

Denn wegen $\begin{eqnarray*} g(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (was man der Produktdarstellung sofort entnimmt) und $\begin{eqnarray*} g(x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ kann man schließen, daß kein globales Minimum existiert.
Natürlich reicht die Grenzwertbetrachtung alleine nicht.

07.08.2013, 19:04

küb

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Ouh ja, danke ;D Das fässt das ganze nochmal gut zusammen smile

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