Approximationsfehler abschätzen - Seite 2

07.08.2013, 22:54

küb

RE: Approximationsfehler abschätzen

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq | \frac{8}{3 }| *| x^{3} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | \leq | \frac{32}{3 } | * | x^{6} | \end{eqnarray*}$

So?

07.08.2013, 23:07

Dopap

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ganz so kann man das Restglied nicht stehen lassen ( sofern der erste Teil stimmt )
Es gehört schon der Hinweis:

für $\begin{eqnarray*} x \in \quad ]-\frac12 , \frac 12 [ \end{eqnarray*}$ dazu.

07.08.2013, 23:07

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Okay, das sieht gut aus.
Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} x^6=\lvert x\rvert^3\lvert x\rvert^3\leq\frac1{2^3}\lvert x^3\rvert \end{eqnarray*}$ .
Das solltest du jetzt nachvollziehen und anwenden.
Anschließend erhältst du zwei Fehlerabschätzungen und kannst bestimmen, welche obere Schranke für den gemachten Fehler besser ist.

07.08.2013, 23:16

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ja nachvollziehen wäre jetzt super :P

Also $\begin{eqnarray*} x^6=\lvert x\rvert^3\lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$ ist klar..

Und wie kommst du jetzt auf die rechte Seite von:

$\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert^3\lvert x\rvert^3\leq\frac1{2^3}\lvert x^3\rvert \end{eqnarray*}$ .

Ist das die umgeformte Version von etwas, das wir hier schon stehen hatten?

07.08.2013, 23:20

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Sieh dir mal an, was Dopap gerade geschrieben hat.

Ansonsten kann gerne jemand übernehmen; ich gehe jetzt schlafen.

07.08.2013, 23:22

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ok, ich gehe auch schlafen und schaue es mir morgen nochmal an smile

Danke bis hier hin Wink

08.08.2013, 15:31

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Hab mir mal paar Gedanke gemacht:

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq | \frac{8}{3 }| *| x^{3} | \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in \quad ]-\frac12 , \frac 12 [ \end{eqnarray*}$

Also wir wissen: $\begin{eqnarray*} | x | < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Somit ist: $\begin{eqnarray*} | x^3 | < \frac{1}{2^3} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq \frac{f^{3}(-\frac{1}{2}) }{6} * \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Darf ich das so machen? Oder ist das falsch?

08.08.2013, 16:52

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Hier hättest du $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$ stehen lassen können.
Die Abschätzung war für die andere Fehlerabschätzung gedacht.

08.08.2013, 17:00

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$ stehen lasse, dann habe ich aber keinen festen Wert.. Und im Tutorium hatten wir am Ende immer eine Zahl..

Jetzt hätte ich 1/3 für den ersten Fall und 1/6 für den zweiten Fall.
Dann könnte ich sagen, dass der Fehler für den Grad 5 kleiner ist, als für Grad 2 des Polynoms..

Aber meinst du, ich sollte das lieber allgemein machen, ohne etwas für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$ einzusetzen?

08.08.2013, 17:06

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Du hast $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ ? Was soll das heißen? Was ist ein Drittel?

Aber wenn du das alles nochmal sauber aufschreibst, dürfte das stimmen.

08.08.2013, 17:09

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq 1/3 \end{eqnarray*}$

Hätte ich jetzt da stehen..

08.08.2013, 17:20

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Okay, meinetwegen.
Ich weiß gerade nicht, ob ihr das wirklich so macht, aber du solltest im Hinterkopf behalten, dass der gemachte Fehler von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, was nun schlechter ersichtlich ist.

08.08.2013, 17:28

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ich könnte meinetwegen auch x stehen lassen..

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq | \frac{8}{3 }| *| x^{3} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | \leq | \frac{32}{3 } | * \frac1{2^3}\lvert x^3\rvert \end{eqnarray*}$ .

Dann so?

08.08.2013, 17:29

Kathi_R

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Oh Himmel, ist das wirklich so kompliziert?
Ich hab ja die gleiche Aufgabe, hab das allerdings in wenigen Zeilen gemacht - und hab jetzt echt Angst, dass ich was übersehen/zu leicht gemacht hab.

Mein Weg war:

$\begin{eqnarray*} |R_2(x)| = |\frac{f^3(\xi)}{3!}(x-x_o)^3| \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} |R_2(x)| = |\frac{2}{6\cdot(1+\xi)^3}(x)^3| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_2(x)| = |\frac{1}{3\cdot(1+\xi)^3}||(x)^3| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x| < 0,5; \xi \in (o,x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_2(x)| \leq \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(1-(0,5)^3)}\cdot(0,5)^3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Reicht das nicht aus?

Liebe Grüße!

(P.S. ich hab mir eure Unterhaltung durchgelesen und trotzdem keinen Fehler in meiner Rechnung gefunden. Wozu brauche ich denn die Monotonie, wenn ich einfach nur zwei Werte vergleichen soll?)

08.08.2013, 17:30

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
So dachte ich mir das Freude

Damit kann man die Abschätzungen direkt miteinander vergleichen, ohne ganz extrem abschätzen zu müssen.

Und noch etwas ist zu beachten: Wir haben nur zwei obere Schranken für die Fehler gefunden, so dass die eine kleiner ist. Das heißt noch nicht, dass der mit dem Taylor-Polynom fünfter Ordnung gemachte Fehler tatsächlich immer kleiner ist. Er kann nur gegen einen kleineren Wert nach oben abgeschätzt werden.

08.08.2013, 17:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kathi_R
$\begin{eqnarray*} |R_2(x)| \leq \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(1-(0,5)^3)}\cdot(0,5)^3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Du musst hier nur begründen, wieso du den Fehler nach oben abschätzen kannst, indem du $\begin{eqnarray*} \xi=-\frac12 \end{eqnarray*}$ einsetzt (Dezimalbrüche sind übrigens zu vermeiden).

Und die Klammer ist natürlich falsch gesetzt.

Ansonsten ist es aber wirklich nichts weiter, das hat sich hier nur etwas langgezogen.

08.08.2013, 17:39

küb

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Bin ich froh, dass es jetzt endlich fertig ist Big Laugh

Danke, dass du mir geholfen hast. Jetzt habe ich endlich verstanden, wie das funktionieren soll Freude

@ Kathi_R

Ich musste jetzt nochmal alles Schritt für Schritt machen, weil ich es im Tutorium überhaupt nicht verstanden hatte ^^'

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