X^5 + 16 irreduzibel?

07.08.2013, 17:13

steviehawk

X^5 + 16 irreduzibel?

Meine Frage:
Hallo Leute, ist das Polynom: $\begin{eqnarray*} f = X^5 + 16 \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel?

Meine Ideen:
Wenn ich für p = 3 das Reduktionskriterium anwende, erhalten ich:

$\begin{eqnarray*} f^* = X^5 + \overline 1 \in \mathbb Q \setminus 3\mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ das hat keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q / 3 \mathbb Q \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} f* \end{eqnarray*}$ irred. so auch f

passt das?

Wenn ich mit p=2 reduziere würde ich ja: $\begin{eqnarray*} f^* = X^5 \end{eqnarray*}$ erhalten, das hat aber eine NS in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \setminus 2 \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nämlich: $\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$

wie kann das jetzt sein, das es ein mal geht und ein mal nicht??

Danke für die Hilfe!

07.08.2013, 17:15

Helferlein

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Ist 2 neuerdings kein Teiler von 16 mehr? verwirrt

07.08.2013, 17:20

HAL 9000

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Das hier

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} f^* = X^5 + \overline 1 \in \mathbb Q \setminus 3\mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ das hat keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q / 3 \mathbb Q \end{eqnarray*}$

ist übrigens auch eine gewagte Behauptung, ich sag mal nur $\begin{eqnarray*} \overline{-1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.08.2013, 17:32

steviehawk

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ah Danke, jetzt sehe ich auch:

$\begin{eqnarray*} \overline{-1} = \overline{2} \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \overline{2}^5 + \overline{1} = \overline{33} = 0 \end{eqnarray*}$

also wird es wohl mit Reduktion nichts! Alternative? (Eisenstein geht ja auch nicht..)

07.08.2013, 18:03

HAL 9000

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Es müsste doch folgendes gelten - oder irre ich mich da:

Zitat:

Ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist genau dann irreduzibel, wenn dies auch auf $\begin{eqnarray*} g(X):= X^n\cdot f\left(\frac{1}{X} \right) \end{eqnarray*}$ zutrifft.

(Als blutiger Algebra-Amateur weíß ich nicht, ob diese Eigenschaft irgendeinen "Namen" hat. Augenzwinkern

)

Und dann ist hier ja $\begin{eqnarray*} 2g = 2(16X^5+1) = (2X)^5 +2 \end{eqnarray*}$ sicher irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ . verwirrt

07.08.2013, 18:09

micha_L

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Hallo,

wenn es um die Frage geht, ob $\begin{eqnarray*} f=X^2+16 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, so reicht eine Untersuchung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wie Gauss garantiert.

Untersuche halt zunächst, ob es Nullstellen des Polynoms in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt. Da musst du ja nur die (positiven und negativen) ganzzahligen Teiler von 16 testen, das geht schnell.

Als nächstes (und letztes und kniffligstes) musst du sicherstellen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht als Produkt eines Polynoms vom Grade 2 und eines Polynoms vom Grade 3 darstellbar ist.

Dazu würde ich normierte Polynome ansetzen. Insgesamt 5 Parameter brauchst du, es ergeben sich 5 Gleichungen.
Mit ein bisschen Frickelei bekommst du heraus, dass das sich ergebende Gleichungssystem nicht in den ganzen Zahlen lösbar ist.

Mfg Michael

07.08.2013, 18:22

Leopold

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Oder wende Eisenstein auf $\begin{eqnarray*} f(T-1) \end{eqnarray*}$ an.

07.08.2013, 18:24

steviehawk

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Hab noch eine andere sehr elegante Lösung:

Unter dem Isomorphismus: $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb Q[X] \to \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \varphi (X) = X-1 \end{eqnarray*}$ wird das Polynom auf: $\begin{eqnarray*} (X-1)^5 + 16 \end{eqnarray*}$ abgebildet:

Man erhält: $\begin{eqnarray*} X^5 - 5X^4 + 10X^3-10X^2+5X+15 \end{eqnarray*}$ das Ist Irreduzibel mit Eisenstein und p=5

da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Isomorphismus ist, ist auch $\begin{eqnarray*} X^5 +16 \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

07.08.2013, 18:37

micha_L

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Hallo,

gefällt mir.

Mfg Michael

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