Gauß'sche Zahl auf Irreduziblität prüfen

07.08.2013, 17:59

steviehawk

Gauß'sche Zahl auf Irreduziblität prüfen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne die Zahl: $\begin{eqnarray*} 1 + 2i\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf Irreduziblität prüfen. Habe leider Null ahnung wie ich das machen soll..

In der Lösung gebe die einfach die Zerlegung: $\begin{eqnarray*} 1 + 2i\sqrt{2} = (1-i\sqrt{2})(-1+i\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ an. Diese Faktoren sind nicht Einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ So sehe ich das auch sofort ein.

Nur wie bekomme ich diese Zerlegung? Gibt es da einen Trick. Oder einen ganz anderen Weg??

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

07.08.2013, 19:37

watcher

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Hallo,

Zitat:

ich möchte gerne die Zahl: $\begin{eqnarray*} 1 + 2i\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf Irreduziblität prüfen.

Die Irreduzibiltät ist eine Eigenschaft eines Elements eines Rings. Sie hängt vom umgebenden Ring ab, z.b ist die Zahl in den komplexen Zahlen eine Einheit.
Dem weiteren Text entnehme ich es geht um $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ .

Wobei dann die Verwendung des Symbols i ungünstig ist. Was soll i sein?

Die Normfkt ist bekannt?

Es gilt $\begin{eqnarray*} N(\alpha \beta)=N(\alpha)N(\beta) \end{eqnarray*}$ , d.h. ist x=ab so ist $\begin{eqnarray*} N(x)=N(a)N(b) \end{eqnarray*}$ Sucht man also Teiler a, b so sucht man welche deren Norm die Norm von x echt (warum?) teilt.

08.08.2013, 11:23

steviehawk

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Ganz richtig, es handelt sich um den Ring: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [ \sqrt{-2} ] \end{eqnarray*}$

Normfkt. ist bekannt? JA!

warum die Norm dieser Teiler a, b die Norm von x echt teilen müssen ist mir nicht ganz klar?? (liegt das am Lemma von Euklid? )

Ich gehe dann wohl so vor:

$\begin{eqnarray*} x = 1+2\sqrt{-2} \end{eqnarray*}$ Angenommen es gäbe ein Zerlegung: $\begin{eqnarray*} x = ab \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z [\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$

dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} N(x) = N(a)N(b) \end{eqnarray*}$

Es ist: $\begin{eqnarray*} N(x) = 1^2 + 2(2^2) = 9 \end{eqnarray*}$ also habe ich:

$\begin{eqnarray*} 9 = N(a)N(b) \end{eqnarray*}$ Jetzt gibt es 3 Möglichkeiten:

1) N(a) = 1 , N(b) = 9 (dann wäre aber a eine Einheit und x nicht irred.)
2) N(a) = 9 , N(b) = 1 (dann wäre aber b eine Einheit und x nicht ired.)
3) N(a) = 3 , N(b) = 3 (dann wäre x irred.)

1,2 brauche ich nicht zu betrachten, wenn ich in Betrachtung von Fall 3 solche a , b finde, dann ist x irred. Falls nicht, tritt Fall 1 oder Fall 2 ein und x ist irred.

Ich muss nun also ein $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z [\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ finde, so dass $\begin{eqnarray*} N(a) = N(b) = 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} n^2 + 2m^2 = 3 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Es kann nur n=1 oder n=-1 sein. und m=1 oder m=-1 mit dieser Information (*) und:

$\begin{eqnarray*} (n+m\sqrt{-2})(x+y\sqrt{-2}) = 1+2\sqrt{-2} \end{eqnarray*}$ bekommt man ein LGS das man dann Lösen kann, da (*) gilt.

oder man probiert rum!

passt das?? Gott

Edit: man bekommt dann für a und b jeweils Einheiten raus, also ist x nicht irred.

08.08.2013, 11:44

watcher

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Zitat:

warum die Norm dieser Teiler a, b die Norm von x echt teilen müssen ist mir nicht ganz klar?? (liegt das am Lemma von Euklid? )

Weil

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} N(\alpha \beta)=N(\alpha)N(\beta) \end{eqnarray*}$ , d.h. ist x=ab so ist $\begin{eqnarray*} N(x)=N(a)N(b) \end{eqnarray*}$

und echt da die Norm einer Einheit ...

Zu deinen 3 Möglichkeiten:
1 und 2 sind identisch wg. Kommutativität.
Das Eintreten von Fall 1 und 2 hat nichts mit Irreduzibilität zu tun.
(a=1, b=x geht immer).
Das Nicht-Eintreten von 3 ist der entscheidende Punkt.

Zitat:

wenn ich in Betrachtung von Fall 3 solche a , b finde, dann ist x irred.

Was sind hier solche? Ich verstehe diesen Halbsatz nicht.

Der restliche Ansatz passt.

Den Edit wiederum verstehe ich nicht.
Du hast doch bereits im Ursprungspost gezeigt, dass deine Zahl reduzibel ist. geschockt

Und nicht irreduzibel ist furchtbare Ausdrucksweise (doppelte Verneinung), das heißt reduzibel.

08.08.2013, 11:49

steviehawk

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ohh ja im Edit war ich etwas schnell beim tippen! Sorry!

Vielen Dank für deine Hilfe!

(Hast du noch ein Beispiel auf Lager, dieser Art??)

08.08.2013, 12:02

watcher

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Du könntest du anschauen welche Zerlegungen $\begin{eqnarray*} 6 \mathbb Z [\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ hat (und was das über den Ring aussagt.)

08.08.2013, 12:13

steviehawk

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meinst du $\begin{eqnarray*} 6 \in \mathbb Z [\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ ??

08.08.2013, 12:17

watcher

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Natürlich, danke für den Hinweis.

08.08.2013, 12:33

steviehawk

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also 6 hat hier die Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} 6 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ das sind keine Einheiten, also ist 6 reduzibel.

Was sagt mir das über den Ring? Wenn ich jetzt von einem Element weiß, dass es eben nicht irred. ist??

08.08.2013, 12:42

watcher

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Es gibt noch eine andere, wohl zu offensichtliche Zerlegung.
Und die zeigt dann, dass der Ring nicht faktoriell ist.

08.08.2013, 12:47

steviehawk

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6 = 2*3

Das heißt um es genau zu machen, die Eindeutigkeit der minimalen Ausdrücke ist verletzt!

zudem ist 3 zwar irred. in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ aber nicht prim.

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