Von komplexer zu reeller Lösung einer DGL

08.08.2013, 00:00

rose_

Von komplexer zu reeller Lösung einer DGL

Meine Frage:
Hallo, ich möchte ein Anfangswertproblem bzw. DGL- Systeme lösen.
Ich habe auch die allgemeine Komplexe Lösung herausbekommen, aber irgendwie hab ich Schwierigkeiten, auf die allgemeine reelle Lösung zu kommen.
Ich habe mir die Lösung zwar angeschaut, aber ich stehe wohl irgendwie auf dem Schlauch

Meine Ideen:
Die komplexe Lsg. die ich raus bekommen habe lautet:

$\begin{eqnarray*} x(t)= a\cdot e^{(-1+i)t}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} + b\cdot e^{(-1-i)t} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x(t)= a\cdot e^{-t}[cos(t)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - sin(t)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}] + b\cdot e^{-t}[sin(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + cos(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

ich verstehe das nicht. Wieso ist das in der ersten Klammer -sin(t) und wieso wurde in der zweiten Klammer sin(t) und cos(t) vertauscht. sin(t) ist doch der Komplexe Anteil oder nicht?

08.08.2013, 00:20

Iorek

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Rechne einmal $\begin{eqnarray*} e^{(-1+i)t} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus und bestimme explizit Real- und Imaginärteil, damit sollte sich das klären.

08.08.2013, 08:03

rose_

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Danke für die schnelle Antwort... aber ich komme einfach nicht drauf. Das -sin(t) leichtet mit absolut nicht ein.

08.08.2013, 08:52

Iorek

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Wie hast du denn gerechnet? Ohne deine Rechnung kann man potentielle Fehler kaum aufdecken.

08.08.2013, 09:02

rose_

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also ich dachte
$\begin{eqnarray*} e^{(-1+i)t} = e^{-t} \begin{pmatrix} e^{i\cdot t} \\ ie^{i\cdot t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann?

08.08.2013, 09:17

HAL 9000

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Na du hast

Zitat:

Original von Iorek
bestimme explizit Real- und Imaginärteil

immer noch nicht ausgeführt: Die Eulerformel $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ gilt es anzuwenden!

08.08.2013, 09:26

rose_

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AAACH

jetzt ist der Groschen gefallen. Vielen lieben Dank

08.08.2013, 09:33

HAL 9000

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Außerdem gilt es zu beachten, dass die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ der ersten Gleichung nicht 1:1 dieselben sind wie die $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ in der zweiten Gleichung (die man also besser anders, etwa $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ bezeichnen sollte). Aber das wirst du im Verlauf der Rechnung schon noch merken.

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