Komplement

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08.08.2013, 09:25	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplement Wäre die Aussage $\begin{eqnarray} x \in M^C \cap N^C \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit: Eine Menge x abzüglich den Mengen N und M? Und die Aussage $\begin{eqnarray} y \in (M \cup N)^C \end{eqnarray}$ heißt doch, dass ich eine Menge y habe, vereinigt mit der Menge M ohne N und der Menge N ohne M (also quasi M und N - aber ohne den "Schnitt").
08.08.2013, 10:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erstes solltest du die Begriffe "Element" und "Menge" unterscheiden. Das ist überhaupt das A und O der Mengenlehre, daß man weiß, in welchem Zusammenhang diese Begriffe stehen. Bei dir ist das ein einziges Durcheinander. x ist ein Element, keine Menge! Es scheint hier um eine der Regeln von de Morgan zu gehen. Veranschauliche dir die Situation an einem Venn-Diagramm.
08.08.2013, 10:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: (1) alle Elemente x abzüglich den Mengen M und N. (2) alle Elemente y in M, N abzüglich dem Schnitt. So besser?
08.08.2013, 10:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkenne zwar in deinen Sätzen mathematische Begriffe. Die Art, wie du sie zusammenstellst, ergibt aber keinen Sinn. Ich habe dich schon auf die Venn-Diagramme hingewiesen. Daran kann man sich die Grundlagen der naiven Mengenlehre wunderbar beibringen. Das solltest du zunächst einmal tun.
08.08.2013, 10:18	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich versuch es ja für mich zu übersetzen... etwas "unmathematischer". [attach]31154[/attach] So?
08.08.2013, 10:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer noch scheint es mir, als würdest du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Mengen auffassen. Wenn du im blauen Bereich einen Punkt markierst und an diesen Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schreibst, dann ist das rechte Bild korrekt. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ meint also nicht den blauen Bereich, sondern ein Element des blauen Bereichs, symbolisiert durch einen Punkt. Der blaue Bereich selbst ist $\begin{eqnarray} M^c \cap N^c \end{eqnarray}$ . Für einen Beweis müßtest du natürlich noch erklären, wie du auf das blaue Bild kommst. Man erkennt hier nur das Ergebnis, aber nicht den Weg dahin. Das linke Bild ist falsch.
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08.08.2013, 10:31	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach soooo, ok! Allerdings versteh ich nicht was am linken falsch sein soll? y ist doch ein Element aus der Vereinigung der Menge $\begin{eqnarray} M^C \end{eqnarray}$ und der Menge $\begin{eqnarray} N^C \end{eqnarray}$ . Also quasi jeder Bereich außer der wo die sich "schneiden"...
08.08.2013, 10:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte die Klammerung.
08.08.2013, 10:45	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaahh, stimmt, denn es gilt ja: $\begin{eqnarray} (M \cup N)^C = M^C \cap N^C \end{eqnarray}$ D.h. y ist kein Element der Vereinigung von $\begin{eqnarray} M^C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N^C \end{eqnarray}$ , sondern der Schnitt davon. Bzw. im linken Bild ist nur der weiße Part relevant - das sind meine Elemente y? Edit: Obwohl, der Schnitt von zwei Komplementen... Moment ich muss kurz nachdenken. Kann es sein, dass es gar keinen Schnitt von $\begin{eqnarray} M^C \cap N^C \end{eqnarray}$ gibt? Ich weiß es nicht...
08.08.2013, 11:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Male zunächst das Bild für $\begin{eqnarray} M \cup N \end{eqnarray}$ . Dann erst $\begin{eqnarray} \left( M \cup N \right)^{\color{red} c} \end{eqnarray}$ . Das hochgestellte $\begin{eqnarray} \color{red} c \end{eqnarray}$ bedeutet "Komplement". Wörtlich heißt das Auffüllbereich oder Restbereich. Gemeint ist, was vom Bisherigen zur vollen Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (oder wie habt ihr die genannt?) noch fehlt. Und dieser Restbereich, der ist gemeint.
08.08.2013, 11:21	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]31155[/attach] Die Vereinigung ist klar, aber mir ist mir klar, was der "Restbereich" sein soll - eine Menge außerhalb der beiden Mengen, wobei die Vereinigung der beiden Mengen dennoch eine Teilmenge dieser "Gesamtmenge" ist?
08.08.2013, 11:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So stimmt's. Die Gesamtmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , in der sich unausgesprochen alles abspielt, wird bei dir durch den rechteckigen Bereich dargestellt (dieses Rechteck solltest du auch noch um die grünen Mengen zeichnen). Und jetzt vergleiche das, was bei dir orange-braun gezeichnet ist, mit dem Blauen von oben (statt der Schlaufe kannst du dort auch ein Rechteck zeichnen).
08.08.2013, 11:28	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstehe ist es genau analog zu dem Bild mit "oranger" Farbe. Also müsste ich in der Korrektur die Mengen M und N farblos darstellen? Im Übrigen hatten wir keine spezielle Bezeichnung wie $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ o.Ä. Edit: Ich muss nun los, aber ist doch auch fertig hier, wenn ich das recht sehe. Danke dir wiedermal!
08.08.2013, 11:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Witz ist, daß sich bei $\begin{eqnarray} M^c \cap N^c \end{eqnarray}$ dasselbe wie bei $\begin{eqnarray} (M \cup N)^c \end{eqnarray}$ ergibt, womit $\begin{eqnarray} M^c \cap N^c = (M \cup N)^c \end{eqnarray}$ als Regel folgt.

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