Beweis - Wurzel 2

08.08.2013, 10:14

Kimyaci

Beweis - Wurzel 2

Wir haben bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist, durch den Widerspruch $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Also im Groben:

$\begin{eqnarray*} r = \frac p q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb Z \Leftrightarrow q \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = r^2 = (\frac q p)^2 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 2 \ q^2 \end{eqnarray*}$

Und nun:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow p = 2 \cdot m \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Den Schritt versteh ich irgendwie nicht - wo ist das Quadrat hin und woher taucht die neue Zahl "m" auf?

08.08.2013, 10:18

Leopold

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RE: Beweis - Wurzel 2

Zitat:

Original von Kimyaci
Wir haben bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist, durch den Widerspruch $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Wie auch im andern Strang, den ich gerade mit dir behandle, gilt: Man kann nicht erkennen, ob du überhaupt die Fragestellung verstanden hast. Möglicherweise kannst du, was du sagen willst, nur nicht in Worte fassen. Aber es deutet eher darauf hin, daß du gar nicht weißt, worum es überhaupt geht.
Was bedeutet denn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ? Welche Vorstellung verbindest du damit?

08.08.2013, 10:21

Kimyaci

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Alsoo... $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist kein Element der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und um das zu "beweisen" wurde hier die Annahme gewählt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Wenn die Annahme falsch ist, gilt die Negation:

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$

08.08.2013, 10:31

Leopold

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Aha! Jetzt klingt das zum ersten Mal nach Mathematik. Bitte nie mehr solche verballhornten Sätze wie in deinem Eröffnungsbeitrag!

Jetzt korrigiere auch die weiteren Zeilen deines Eröffnungsbeitrags und führe sie in richtige Mathematik über. Dazu mußt die deutsche Sprache in ihrer Form als mathematische Fachsprache verwenden.

Dann stelle deine Frage erneut.

08.08.2013, 10:40

Kimyaci

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Sorry.

Ich versuchs mal so, Annahme:

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Wenn r ( $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ) eine rationale Zahl sein soll, lässt sie sich allgemein darstellen als:

$\begin{eqnarray*} r = \frac q p \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} p, q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Da man nicht durch Null teilen darf muss außerdem gelten:

$\begin{eqnarray*} q \neq 0 \end{eqnarray*}$

Um die Wurzel "wegzubekommen" (Umformung) muss man quadrieren:

$\begin{eqnarray*} r^2 = 2 \end{eqnarray*}$

Da nun nach Def. der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} r = \frac q p \end{eqnarray*}$ gilt, kann man das umschreiben als:

$\begin{eqnarray*} 2 = (r)^2 = (\frac q p)^2 = \frac{q^2}{p^2} \end{eqnarray*}$

Eine äquivalente Umformung (beide Seiten mit q² multipliziert):

$\begin{eqnarray*} q^2 \cdot 2 = p^2 \end{eqnarray*}$

Und der nächste Schritt:

$\begin{eqnarray*} p =2 \cdot m \end{eqnarray*}$

Mit einer neuen Zahl $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Und den letzten Schritt versteh ich halt nicht - ich hoffe das war nun halbwegs in Ordnung.

Edit: Vielleicht sollte ich anmerken, dass dies im Rahmen der Schulmathematik zu beweisen ist.

08.08.2013, 10:55

Leopold

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Kimyaci kann ja doch Mathematik!

Irgendwie hast du in der Bruchdarstellung Zähler und Nenner vertauscht, sonst ist es aber richtig.

Ein paar Hinweise: $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ brauchst du nicht. Schreibe gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ . Und es macht die Sache ein bißchen einfacher, wenn du $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ gleich als positive ganze Zahlen annimmst.

Wenn du an der Stelle

$\begin{eqnarray*} q^2 \cdot 2 = p^2 \end{eqnarray*}$

bist, schaust du dir die linke Seite der Gleichung an. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist eine natürliche Zahl, die quadriert wird, womit auch $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist. Die wird nun noch verdoppelt. Also ist $\begin{eqnarray*} q^2 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ eine gerade natürliche Zahl. Die soll gleich $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ sein. Als natürliche Zahl kann $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade sein. Jetzt spiele einmal die beiden Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch!

Und noch etwas: Für den Beweis ist es später wichtig, daß man $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ als teilerfremd annehmen darf. Wo hast du das erwähnt?

Und ein letztes: Das Symbol $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ darf man nur verwenden, wenn schon geklärt ist, daß es auf jeden Fall eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist. Ansonsten mußt du doch mit dem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ von vorhin arbeiten. Und der Beweis beginnt dann an der Stelle mit $\begin{eqnarray*} r^2 = 2 \end{eqnarray*}$ .

08.08.2013, 11:10

Kimyaci

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Wenn ich die Anfangsbedingungen leicht modifiziere (wie von dir vorgeschlagen):

$\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das Quadrat einer natürlichen Zahl ist nur dann gerade, wenn die natürliche Zahl gerade ist, also wenn p² gerade ist ist auch p gerade.

p, q sind, laut Annahme, teilerfremd (hatte es im Anfangsthread etwas kurzgefasst). Und dass es diese Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall gibt hatten wir kurz davor eingeführt - mit dem Satz von Pythagoras (Längen jeweils 1).

Nun gut, also p muss gerade sein - aber trotzdem versteh ich den Schritt nicht wo das m auf einmal hinzukommt. verwirrt

08.08.2013, 11:15

Leopold

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Zitat:

Original von Kimyaci
Und dass es diese Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall gibt hatten wir kurz davor eingeführt - mit dem Satz von Pythagoras (Längen jeweils 1).

Nehmen wir das als didaktische Reduktion, wenn auch nicht ganz unproblematisch, einmal hin ...

Zitat:

Original von Kimyaci
Nun gut, also p muss gerade sein

Und jede gerade natürliche Zahl ist doch das Doppelte einer anderen natürlichen Zahl, sonst wäre sie nicht gerade. Oder wie siehst du das?

08.08.2013, 11:25

Kimyaci

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Zitat:

Nehmen wir das als didaktische Reduktion, wenn auch nicht ganz unproblematisch, einmal hin ...

Wie gesagt; ist noch keine "richtige" Mathematik - sondern eher "Grundlagenwiederholung" (ich würde es auch lieber ins Unterforum der "Schulmathematik" posten).

Zitat:

Und jede gerade natürliche Zahl ist doch das Doppelte einer anderen natürlichen Zahl, sonst wäre sie nicht gerade. Oder wie siehst du das?

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, ja du hast recht. Jetzt hats klick gemacht, den Rest versteh ich nun auch.

Tausend Dank!!! Freude

08.08.2013, 11:31

Leopold

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Und bei künftigen Anfragen bitte gleich richtiges Mathematik-Deutsch verwenden. Man kann nicht einfach mathematische Aussagen ineinander zusammenschieben, nur damit man nicht so viel schreiben muß. Denn dann wird es unverständlich. Und das ist viel schlimmer als richtig oder falsch ... Augenzwinkern

08.08.2013, 12:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Leopold
richtiges Mathematik-Deutsch

OT, aber passt trotzdem: Beweisgedicht.

Viele Grüße
Steffen

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