Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln

08.08.2013, 20:14

DavidgoesMaths

Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln

Meine Frage:
Folgende Angabe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + a} + \sqrt{a} = \sqrt{4a+9} \end{eqnarray*}$

Jedesmal wenn ich die Gleichung berechne und danach eine Probe ausführe, stimmen die Lösungen nicht hunderprozentig übereinander. Egal wie ich es angehe, als Lösung kommt immer eine Kommazahl heraus, und die Probe stimmt nicht ganz überein (zehntel und hunderstel), also die Nachkommazahlen sind falsch. Das kanns doch nicht sein.

Meine Ideen:
Folgendermaßen bin ich vorgegangen (nur eine von vielen Versuchen):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + a} = \sqrt{4a+9} - \sqrt{a} \\ 5+a = 4a+9 - 2*(\sqrt{4a+9}*\sqrt{a})-a \\ -4 -2a = - 2*(\sqrt{4a+9}*\sqrt{a}) \\ 2 + a = \sqrt{4a+9}*\sqrt{a} \\ 4+a² = 4a+9*a \\ a² - 13a + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Dabei kommt für a immer eine Kommazahl heraus und die Probe gelingt nicht richtig. Nun ja, wo ist mein Fehler. bzw ist es überhaupt falsch?

Danke im Vorraus

08.08.2013, 20:18

Bjoern1982

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In Zeile 2 muss es am Ende +a lauten und nicht -a.

08.08.2013, 20:30

DavidgoesMaths

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Würde ich es zu +a ändern, hätte ich am Ende keine a² mehr für eine Quadratische Gleichung

08.08.2013, 22:37

Dopap

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RE: Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln
wer sagt, dass das eine quadratische Gleichung ergeben muss verwirrt

Zitat:

Original von DavidgoesMaths
$\begin{eqnarray*} 2 + a = \sqrt{4a+9}*\sqrt{a} 4+a² = 4a+9*a \\ \end{eqnarray*}$

wo bleibt der Binomi und die Klammer ?

4+4a +a² = (4a+9)*a

wenn du so viele Fehler machst, dann bekommst du auch bei jedem Versuch ein anderes Ergebnis.

08.08.2013, 23:02

Bjoern1982

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Zitat:

Würde ich es zu +a ändern, hätte ich am Ende keine a² mehr für eine Quadratische Gleichung

Was ist denn das für ein Argument ?
Du musst die binomischen Formeln schon richtig benutzen, völlig egal was jetzt danach noch so alles passiert.

Ist dir denn klar, warum da +a statt -a hin muss ?

08.08.2013, 23:14

thk

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RE: Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln

Zitat:

Original von Dopap

4+4a +a² = (4a+9)*a

Nur allgemeines Beispiel ohne Bezug zur Lösungsmenge. Also nicht damit weiter rechnen.

09.08.2013, 16:58

DavidgoesMaths

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Vielen Dank leute, Bjoern hatte natürlich richtig angedeutet das es +a sein muss, hatte hier einen massiven Denkfehler. Danke Dopap, hatte hier die Binomische Formel komplett übersehen und auch die Klammer wurde vergessen.

Aus Prinzip jtz einfach mal die rchtige Lösung, um nichts falsch dastehen zu lassen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5 + a} = \sqrt{4a+9} - \sqrt{a} 5+a = 4a+9 - 2*(\sqrt{4a+9}*\sqrt{a})+a -4 -4a = - 2*(\sqrt{4a+9}*\sqrt{a}) 2 + 2a = \sqrt{4a+9}*\sqrt{a} 4+8a+a² = (4a+9)*a 4+8a+4a² = 4a²+9a a = 4 \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): Unnötige Leerzeilen entfernt.

09.08.2013, 18:12

Leopold

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Bei Wurzelgleichungen immer die Probe machen!
Dieses Verfahren liefert nur Kandidaten für Lösungen. Der Grund dafür ist, daß das Quadrieren einer Gleichung, das du zweimal angewandt hast, keine Äquivalenzumformung ist. Es können sich Scheinlösungen dazuschleichen.

Du kannst ja einmal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{5+a} + \sqrt{a} = \sqrt{4a+9} \end{eqnarray*}$

lösen. Wenn du wie eben zu Anfang $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ subtrahierst und dann quadrierst, was stellst du dann fest?

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