Trigonometrische Funktion f(x)=f(-x)

08.08.2013, 20:32

küb

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Trigonometrische Funktion f(x)=f(-x)

Meine Frage:
Hallo Leute,

weiß nicht genau, wie ich bei folgender Aufgabe ansetzen soll:

Es seien $\begin{eqnarray*} \omega > 0, I := [\frac{-\pi}{2*\omega},\frac{\pi}{2*\omega}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: I \to \mathbb R , x \to cos(\omega*x) \end{eqnarray*}$ .

Überprüfen Sie, dass f(x)=f(-x) für alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ gilt. Folgern Sie aus dieser Gleichung, ob f ' gerade oder ungerade ist.

Normalerweise hätte ich einen Wert eingesetzt und geschaut, ob es zutrifft, aber ich muss es ja für alle x zeigen.

Meine Ideen:

08.08.2013, 21:45

Nofeykx

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Damit wir helfen können, ist es wichtig zu wissen, wie ihr den Cosinus definiert habt. Möglicherweise über seine Reihendarstellung ?

08.08.2013, 22:20

küb

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Ich schreibe mal alles auf, was wir haben:

sin'(x) = cos(x)
cos'(x) = -sin(x)

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)

sin(x+(pi/2)) = cos (x)
cos(x+(pi/2)) = -sin(x)

sin(x1+x2) = sin(x1)*cos(x2) + cos(x1)*sin(x2)
cos(x1+x2) = cos(x1)*cos(x2) - sin(x1)*sin(x2)

cos(x)=cos(x+2*pi)
sin(x)=sin(x+2*pi)

08.08.2013, 22:54

Nofeykx

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"cos(-x) = cos(x)"

Da hast du doch schon die gesuchte Eigenschaft.

08.08.2013, 23:27

küb

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Ja, stimmt schon, hatte ich auch schon gesehen, aber es kam mir zu einfach vor, einfach
hinzuschreiben:

cos(-wx) = cos(wx)
weil:
cos(-x) = cos(x)

Muss ich das irgendwie beweisen oder so? Also dass die Aussagen äquivalent sind..?

08.08.2013, 23:33

Nofeykx

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Naja, wenn du keine Definition des Cosinus hast, kannst du das schlecht anders zeigen, denke ich.

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09.08.2013, 08:34

küb

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Gibt es denn so eine Definion? Also eine, die ich nicht genannt habe, die mir aber mehr bringen würde?

09.08.2013, 09:00

Iorek

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Du hast doch schon alles was du brauchst; wenn ihr die Aussage $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\cos(-x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ hattet, ist die Aufgabe damit schon direkt erschlagen. Wie ihr letztendlich den Cosinus definiert habt, musst du wissen, von uns sitzt keiner in deiner Vorlesung. Für mögliche Definitionen (die es natürlich gibt) könntest du z.B. mal auf Wikipedia nachschlagen. Bei uns in der Analysis I wurde der Cosinus z.B. als $\begin{eqnarray*} \cos:\mathbb C\rightarrow\mathbb C,z\mapsto\cos(z)=\frac 12\left(\exp({i}z)+\exp(-iz)\right) \end{eqnarray*}$ definiert. Damit lässt sich $\begin{eqnarray*} \cos(z)=\cos(-z) \end{eqnarray*}$ direkt durch Einsetzen zeigen.

09.08.2013, 10:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Iorek
Wie ihr letztendlich den Cosinus definiert habt, musst du wissen, von uns sitzt keiner in deiner Vorlesung.

Nach den gestellten Aufgaben zu urteilen kenne ich die Veranstaltung. Und soweit ich weiß, wurden da Sinus und Cosinus als Lösungen eines Anfangswertproblems definiert.
Die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \cos x=\cos(-x) \end{eqnarray*}$ wurde aber behandelt.

Wir hatten Sinus und Cosinus in Ana1 übrigens durch die Reihendarstellungen definiert; da war die gefragte Eigenschaft fast noch offensichtlicher.

09.08.2013, 10:33

Iorek

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Dann korrigiere ich: außer Che Netzer sitzt keiner in deiner Vorlesung, und allgemein sollte man immer zunächst davon ausgehen, dass kein Helfer in der entsprechenden Vorlesung sitzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ob die gefragte Eigenschaft nun für $\begin{eqnarray*} \cos(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cos(z)=\frac 12\left(\exp iz)+\exp(-iz)\right) \end{eqnarray*}$ offensichtlicher ist, da kann man drüber streiten, gerade Exponenten oder Kommutativgesetzt...was ist davon einfacher? Und mit Kenntnis der Exponentialreihe ist es ja auch kein Problem $\begin{eqnarray*} \frac 12\left(\exp iz)+\exp(-iz)\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ schnell nach zu rechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.08.2013, 11:58

küb

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Ich habe nicht gewusst, dass die Lösung der Aufgabe über solch einen Weg geht.. sonst wäre ich davon ausgegangen, dass ihr nicht wissen könnt, was ich schon habe..

Wir hatten erst gerade in der Vorlesung die Reihendarstellung des Sinus..
Die Reihendarstellung des Cosinus werde ich mir mal anschauen, wenn ich Zuhause bin smile

smile

Eigentlich müsste ich ja dann erkennen, dass die Potenzen alle gerade sind..
Aber was ist mit dem omega? Kann ich einfach sagen, dass cos(wx) genau dieselben Eigenschaften zeigt wie cos(x)?

10.08.2013, 21:44

küb

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Dann kann ich jetzt einfach schreiben:

cos(x) = cos(-x)

Darum: cos(wx) = cos(-wx)

Und zur Frage, ob es gerade oder ungerade ist:

Die Reihendarstellung des Cosinus:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k}*\frac{x^{2*k} }{(2*k)!} = 1 - \frac{x^{2} }{2} + \frac{x^{4} }{4} - \frac{x^{6} }{6} + \frac{x^{8} }{8} ... \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} cos(w*x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k}*\frac{(w*x)^{2*k} }{(2*k)!} = 1 - \frac{(w*x)^{2} }{2} + \frac{(w*x)^{4} }{4} - \frac{(w*x)^{6} }{6} + \frac{(w*x)^{8} }{8} ... \end{eqnarray*}$

Geht das so?

10.08.2013, 21:53

Che Netzer

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Ist dir eigentlich klar, was es heißt, dass eine Funktion gerade bzw. ungerade ist? verwirrt

verwirrt

10.08.2013, 21:55

küb

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Naja, dass sie punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist..

10.08.2013, 22:08

Che Netzer

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Und was machst du da mit der Reihendarstellung?

10.08.2013, 22:12

küb

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Naja, allle haben von der Reihendarstellung gesprochen.. Ups

Ups

10.08.2013, 22:42

Che Netzer

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Ich hatte sie nur erwähnt, weil Sinus und Cosinus so definiert werden können. Wo stand denn, dass du sie für diese Aufgabe brauchst?

10.08.2013, 22:53

küb

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Na gut, dann keine Reihendarstellung..

Dann kann ich also einfach von cos(x)=cos(-x) ausgehen und daraus folgern, dass cos(wx)=cos(-wx) ?

10.08.2013, 23:06

Che Netzer

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Scheint so. Und dann eine Eigenschaft der Ableitung folgern.

10.08.2013, 23:15

küb

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Die Ableitung ist

(cos(wx))' = -sin(wx)*w

Also ist f' ungerade.

10.08.2013, 23:19

Che Netzer

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Vermutlich sollt ihr direkt sagen, dass Ableitungen gerader Funktionen ungerade sind.

10.08.2013, 23:23

küb

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Achso, okay smile

smile

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