Ebenen - Schnittgeradengleichung berechnen

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Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen - Schnittgeradengleichung berechnen
Meine Frage:
Hallo zusammen!

ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Berechnen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und .





Meine Ideen:
Siehe Anhang.

Ich schaffe es allerdings nicht das GLS zu lösen. unglücklich
r kriege ich ermittelt* (mit (1. I + 3*III) (2. (3*II + 4*III) (3. (5*II-III)) aber dann komme ich nicht mehr weiter.

Oder ist das überhaupt der richtige Weg?


*r = -0,5
Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vier Variablen auf drei Gleichungen - dein LGS hat keine eindeutige Lösung - und das braucht sie auch gar nicht. Dein Lösungsraum ist ja eine Gerade, also die Menge aller Punkte, die in beiden Ebenen liegt... Zuerst brauchst du aber die Normalenform deiner Ebenen. Da machen wir dann weiter.

lg
kgV
Wink
 
 
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

verwirrt
Muss ich also erst das Vektorprodukt in beiden Ebenen berechnen?
Also zwischen r und s , t und u ?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst nur das Vektorprodukt von r und s und getrennt von t und u. Daraus kannst du dann die Normalengleichung der Form ax+by+cz=d erstellen. Die Werte a, b und c sind die Einträge des Normalenvektors und d erhältst du durch Skalarmultiplikation des Normalenvektors mit einem Punkt der Ebene (nimm einfach den Ansatzpunkt her, also (0/0/0) und (2/0/1) smile )


edit: ich muss grade mal für 10 Minuten verschwinden, ok? smile
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Für E1 habe ich:
und
für E2:

errechnet.

Also:

E1 = 8x + 6y -16z = d

E2 = 4x + 0y + 12z = d

Und jetzt das Skalarprodukt:

E1 =


E2 =

Daraus folgt dann:




Ist das soweit richtig?

PS: Alles klar. Kein Problem. Wink
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

War dann wohl doch eine Viertelstunde^^

Zu Ebene 1: Passt

Zu Ebene 2: Da habe ich als z-Eintrag nicht Null, sondern 3... Das wäre evtl. zu überprüfen

Das Skalarprodukt stimmt aber trotzdem. Demnach bleibt nur eine Änderung zu machen

Was fällt dir denn auf, wenn du die beiden Normalengleichungen so betrachtest? Damit du es auch sicher siehst, multipliziere zuerst die zweite Gleichung mit 2.. Was bedeutet das für die Gleichung?
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

"Zu Ebene 2: Da habe ich als z-Eintrag nicht Null, sondern 3... Das wäre evtl. zu überprüfen"
Oh, mist da hast Du Recht. Aber meinst Du nicht den "y-Eintrag" ? smile


Wenn ich die zweite Gleichung mit 2 multipliziere, erhalte ich 8x + 6y + 24z = 40

Also sind x und y mit E1 gleich. Aber was bedeutet das? Lesen2 verwirrt
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Verflixt, Verschreiber...

Und nein, die Ebenen sind nicht gleich (edit: habe deinen Kommentar etwas falsch gelesen - wollte dir nichts unterstellen) - ihre z-Koordinaten unterscheiden sich doch ganz gewaltig, oder? Auch der d-Eintrag ist anders...

Worauf ich eigentlich hinauswollte: du kannst einen Eintrag, den z-Eintrag konstant bestimmen, weil er eindeutig ist - die Schnittgerade der beiden Ebenen ist parallel zur xy-Ebene. Einfach die Gleichungen subtrahieren und dann nach z auflösen, danach machen wir mit dem Rest weiter
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der ursprünglichen Gleichung? Oder die, die erst *2 genommen wurde?

Ich rechne mal mit der ursprünglichen O.o

8x + 6y -16z = 0
- 4x + 3y + 12z =20

= 4x + 3y -28z = -20

-28z = -4x - 3y - 20
z = 0,14x - 0,1y - 0,71
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Argh..
Falsche Vorzeichen:

z = 0,14x + 0,1y + 0,71
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde doch die multiplizierte nehmen... Das ergibt nämlich und somit z=1
Alle z-Einträge lauten damit 1

Jetzt weiter im Text: es geht darum, z aus den Gleichungen zu eliminieren. Ich gebe dir mal die beiden vor;


Da muss z weg, also musst du die beiden Gleichungen passend erweitern... womit?
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Mist.. Da hätte ich ja auch mal drauf kommen können.

verwirrt Da hast Du ja die Gleichung der E1 zuerst durch 2 geteilt??
Oder sehe ich das falsch?




Erweitern würde ich die beiden mit 3 und 2.

Also:

4x + 3y - 8z = 0 | *3
12x + 9y - 24z = 0

Und

4x + 3y + 12z = 20 | *2
8x + 3y + 24z = 40
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es vorgezogen zu dividieren statt zu erweitern - hält die Zahlen kleiner Big Laugh

Und ansonsten stimmt es - Jetzt die Gleichungen addieren ergibt , durch 5 dividieren

Hier kannst du einen Parameter frei wählen und dann den anderen berechnen. Zusammen mit z=1 ergibt das deinen Ansatzpunkt/Stützvektor.

Danach musst du noch das Homogene Gleichungssystem dazu lösen, um den Richtungsvektor zu bestimmen und dann sind wir hier fertig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Macht ihr ruhig diesen Weg erstmal weiter.

Ich verstehe nur nicht, warum nicht der korrekte Weg des Fragestellers mit dem LGS zu Ende gegangen wurde (Einzig die Zahlen auf der linken Seite waren falsch bzw wurden falsch rüber gebracht).
In der Zeit wo jetzt mühsam die Koordinatenformen aufgestellt wurde, wäre man mit obigem Weg schon längst fertig. Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nun mal so, dass ich mich bisher nur diesen Weg kannte. hab mich grade ein wenig schlau gemacht und sehe das jetzt auch ein... (trotzdem schadet ein wenig Übung im Aufstellen von Koordinatenformen keinem Augenzwinkern )
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht mehr kürzen Big Laugh

Also
12x + 9y - 24z = 0
+ 8x + 3y + 24z = 40

= 20x + 12y = 40

Nach x aufgelöst:

20x + 12y = 40
20x = -12y + 40

x = 0,6y + 2

Nach y aufgelöst:

20x + 12y = 40
12y = -20x + 40

y = -1,67x + 3,32

verwirrt

Aber wie komme ich damit nun auf den Stützvektor?
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

@ Bjoern: Hmm.. Du hättest nicht zufällig Lust meinen alten Ansatz zu korrigieren? smile Und mir das weitere Vorgehen kurz zu umschreiben?

Aber ich stimme kgV zu. Ein wenig Übung hat noch nie geschadet also bringen wirs erstmal so zu Ende. smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei deiner zweiten Gleichung hast du die y nicht miterweitert... Meins stimmt schon Augenzwinkern


Wähle einfach mal z.B. x= 1 und löse dann nach y auf. Das ergibt den Stützvektor. Dasselbe noch mal mit Null auf der rechten Seite ergibt dann den Richtungsvektor und fertig
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Ups



verwirrt
Also 20 + 15y = 40

15y = -20 + 40
y = 1,332

Und das ist nun der Stützvektor?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ja:

Und dann, wie gesagt, rechte Seite Null setzen und dasselbe nochmal:


Einen frei wählen, den anderen Berechnen und dann zusammenschreiben - fertig
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Also

20x + 15 = 0
20x = -15
x = -0,75

?

Nun hab ich also:

z = 1
y = 1,332
x = -0,75

Das ergibt dann meine Schnittgeradengleichung:

g: -0,75x + 1,332y + z

?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

nein, du hattest x und y ja zuvor schon einmal bestimmt... das war der Stützvektor. Jetzt hast du wieder alle Werte bestimmt, d.h. einen neuen Vektor: und damit als Geradengleichung:

Damit sind wir hier fertig und ich überlasse es Björn1982, dir evtl. noch die andere Form näher zu bringen. Würde mich persönlich auch interessieren, auch wenn ich das Prinzip schon verstanden haben müsste.

Eine gute Nacht wünsche ich
Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
@ Bjoern: Hmm.. Du hättest nicht zufällig Lust meinen alten Ansatz zu korrigieren? smile Und mir das weitere Vorgehen kurz zu umschreiben?


Korrigiert hatte ich ja schon, du musst beim Sortierschritt die 2,0 und 1 einfach rechts stehen lassen.

Danach kann man durch zwei Gauß-Umformungen dafür sorgen, dass in einer Zeile entweder nur noch etwas mit r und s oder nur noch etwas mit t und u übrig bleibt.

Damit kann man dann r durch s oder t durch u ausdrücken und dann in die entsprechende Ebenengleichung einsetzen, wodurch dann die gesuchte (nur noch von einem Parameter abhängige) Schnittgerade entsteht.
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh jetzt verstehe ich!
Dann bedanke ich mich nochmal für deine Hilfe und Zeit! smile

Würde mich allerdings auch freuen, wenn Bjoern mir nochmal den anderen Rechenweg erklären könnte. Denke der ist vllt. etwas eleganter. smile (Hoffe er liest noch mit)

Fürchte allerdings, dass mein Hirn für heut' erstmal genug von Mathe hat. Big Laugh
Werde morgen dann also nochmal vorbeischauen.

Wünsche ebenfalls eine gute Nacht! smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile Und Björn liest noch mit Augenzwinkern
Bis morgen dann
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Oh prima smile Du hast also noch mitgelesen.

Vielen Dank! Das werde ich morgen dann gleichmal so machen. Würd mich freuen, wenn Du dann vllt nochmal zur Kontrolle hier vorbeischauen könntest.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, bei Fragen einfach nochmal nachhaken.

Gute Nacht euch beiden. Wink
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Soo da bin ich wieder smile

Habe eben den alternativen Rechenweg verfolgt und das kam dabei raus:

(I).....3r + s - 0t + 3u = 2
(II)....4r - 4s - 4t - 0u = 0
(III)...3r - s + t - u = 1

Dann zuerst I+(3*III) gerechnet:

(I).....3r + s - 0t + 3u = 2
(II)....4r - 4s - 4t - 0u = 0
(III)...12r - 2s + 3t + 0u = 5

Nun (3*II)+(4*III):

(I).....3r + s - 0t + 3u = 2
(II)....4r - 4s - 4t - 0u = 0
(III)...60r - 20s + 0t + 0u = 20

Jetzt hab ich also die Gleichung:

60r - 20s = 20

Nach r aufgelöst:
60r - 20s = 20
r = 0,332s + 0,332

Nach s aufgelöst:
60r - 20s = 20
s = 3r - 1

Jetzt hab ich aber wieder ein Problem. Wie setze ich r und s nun in
ein?

Vllt so?:



=

verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Lösen des Gleichungssystems ist dir bestens gelungen. Freude

Es reicht dann jedoch die Gleichung 60r - 20s = 20 nach einer Variablen aufzulösen und das wird dann direkt in die Ebene eingesetzt.
Hier würde sich (um Brüche zu vermeiden) somit s=3r-1 wunderbar anbieten und damit hat man dann:



Das musst du dann nur noch auf die Form bringen, was dann der gesuchten Schnittgeraden in Parameterform entspricht.

Verinnerliche also vielleicht nochmal diesen Satz von mir:

Zitat:
Damit kann man dann r durch s oder t durch u ausdrücken und dann in die entsprechende Ebenengleichung einsetzen, wodurch dann die gesuchte (nur noch von einem Parameter abhängige) Schnittgerade entsteht.


Denn durch das Einsetzen soll ja gerade ein Parameter wegfallen, denn wenn wieder zwei Parameter im Spiel sind, haben wir ja meist wieder eine Ebene und keine Gerade.
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Sry für meine späte Antwort!

"Das musst du dann nur noch auf die Form bringen, was dann der gesuchten Schnittgeraden in Parameterform entspricht."

verwirrt Ich fürchte das habe ich nicht ganz verstanden. O.o
Was sind und in meiner Gleichung?

Aufjedenfall muss ich ja die -1 und ein r "eliminieren" oder?
Vllt so?:








Und dann die beiden "r" zusammenzählen?:



Und dann ordnen:




Würd mich freuen wenn Du mir da nochmal auf die Sprünge helfen könntest. smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht perfekt aus. Freude

Und das ist ja dann genau die Form "Vektor + r mal Vektor" oder mit Buchstaben . Augenzwinkern
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

"Sieht perfekt aus. Freude "

Erstaunt1 Wirklich?

Ein solches Erlebnis habe ich in Mathe nämlich nicht oft. Big Laugh

"oder mit Buchstaben ."
Dafür würde mir ja aber hier das b fehlen verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt klar ?
Mathenoop Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Jetzt hab ichs kapiert.

Vielen Dank für deine Hilfe nochmal! smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache Wink
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