Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Neue Frage »

steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen
Meine Frage:
Hey Leute, ich habe folgendes gesehen, was ich aber noch nicht verstehe, warum das so ist:

wenn a*b = c und ggT(a,b)=1

Also wenn ich z.B. wissen möchte, wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 45 es gibt, dann mache ich:

zerlege ich in: also

und erhalte:

und also erhalte ich:

aber der ggT(9,5)=1 das heißt ist bereits isomorph zu

Nun frage ich mich, warum nicht auch: gilt??

Inwiefern spielt der ggT = 1 da eine Rolle?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!!!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dir ist hoffentlich der Unterschied zwischen / und klar?
(Bei Letzerem ist der Name des Befehls eigentlich sehr aussagekräftig.)
Dann bitte nächstes mal auch beachten.

Die Aussage ist sind a,b teilerfremd, so ist:

ist der chinesische Restsatz, nicht der Haupsatz über endliche abelsche Gruppen.

Und die Gruppe ist zyklisch, was man von nicht behaupten sollte.
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

zuerst solltest du den Strich in die andere Richtung machen . Weiter gilt zur Vereinfacherung .

Jetzt zur Frage:

In gibt es ein Element der Ordnung 45, da diese Gruppe zyklisch ist. Wenn du betrachtest, dann könnte doch ein Element mit nicht Ordnung 45 haben, da ...

Was ist die Ordnung von (a,b)?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn: zyklisch??

Wie kann ich mir denn: eigentlich vorstellen?

Und Sorry für die falschen Striche Wink
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist denn: zyklisch??

Wie bestimmt denn ob etwas zyklisch ist?

Zitat:
Wie kann ich mir denn: eigentlich vorstellen?

Das ist eine schwierige Frage. Ich habe keine Vorstellung, die ich in Worte fassen könnte.
Es reicht eigentlich auch die Definition.
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleines Beispiel:

Also die Menge aller zweier Tupel (Paare) wo in der ersten Komponente ein Element aus und in der zweiten Komponente ein Element aus (Wie diese Elemente a und b aussehen ist klar, oder?)

Daher gilt, wenn die Äquivalenzklasse von bezüglich der Äquivalenzrelation: kongruent modulo (Also ist die Menge aller Zahlen aus , die beim Teilen durch den Rest lassen),



oder kurz


(Vorsicht! 1 und so entsprcht jetzt nicht der Zahl 1 usw)
Die Verknüpfung in dieser Gruppe erfolgt komponentenweise

Wenn man sich jetzt ein und ein nimmt, die diese Gruppen erzeugen ( zum Beispiel: Dann gilt und . Welche Ordnung hat dann ?
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie kann ich mir denn: eigentlich vorstellen?

Kannst du dir vorstellen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk

Wie kann ich mir denn: eigentlich vorstellen?



Du könntest dir das geometrisch als einen Torus vorstellen, auf dem ein -Gitter liegt. Das Gitter ist eine Menge, auf der die Guppe operiert. Eine Addition von entspricht einem Transport um 1 entlang der 1. Gitterkoordinate, eine Addition von entspricht einem Transport um 1 entlang der dazu senkrechten 2. Gitterkoordinate, eine Addition von entspricht einem diagonalen Transport innerhalb einer Masche des Gitters. Auf diesem -Torus würde fortgesetzte Addition von ein Objekt diagonal so von Punkt zu Punkt transportieren, dass jeder Gitterpunkt einmal erreicht wird bevor es wieder den Ausgangspunkt erreicht. Der Grund ist die Teilerfremdheit von 9 und 5. Die Gruppe ist also zyklisch (mit als ein möglicher Generator) und isomorph zu .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Leute, vielen Dank für eure Ausführungen!

Eigentlich geht es mir nur darum rauszufinden, was ich tun muss, wenn ich gefragt werden, wie viele abelsche Gruppe der Ordnung 45 es gibt.

Ich muss ja dann die 45 zerlegen, wie es gemacht habe, im ersten Beitrag!

Woher weiß ich dann welche Zerlegungen ich alle aufführen muss?

In dem Beispiel musste ich ja die mit nicht angeben!

Warum?

Dass zyklisch ist ist mir klar!

Woher weiß ich, dass nicht zyklisch ist?

In der Lösung wurde es ausserdem mit aufgezählt. Das wäre ja aber dann falsch!

Da hießt es: Es gibt 2 Stück. Nämlich: und

EDIT:
Im Hauptsatz steht, ja, dass für

aber: also muss das nicht aufgenommen werden in die Liste! Stimmts?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In dem Beispiel musste ich ja die mit nicht angeben!

In welchem Beispiel?

Zitat:
Woher weiß ich, dass nicht zyklisch ist?

Hast du dir über den Post von JackPrince Gedanken gemacht.
Und im Zweifelsfall nochmal meine Frage: Wie ist denn die Eigenschaft zyklisch definiert?

Zitat:
Da hießt es: Es gibt 2 Stück. Nämlich: und

Das ist vollkommen richtig.(natürlich bis auf Isomorphie)

Zitat:
EDIT: Im Hauptsatz steht, ja, dass für aber: also muss das nicht aufgenommen werden in die Liste! Stimmts?

Welche Liste? Dein erster Satz hier ist unvollständig. Ich kann nicht nachvollziehen was er aussagen soll.

Zitat:
Woher weiß ich dann welche Zerlegungen ich alle aufführen muss?

Es geht hier doch nicht um Zerlegungen sondern um Gruppen, oder verstehe ich was falsch?

In welcher exakten Form habt ihr denn den Hauptsatz formuliert?
Von da aus können wir dann weitergehen...
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Beispiel von dem ich Rede, war:

"Wie viele abelsche Gruppe der Ordnung 45 gibt es?"

Diese hätte ich in einer Liste angegeben, wenn ich dann alle gefunden hätte (das ist die Liste)

Zitat:


Wenn man sich jetzt ein und ein nimmt, die diese Gruppen erzeugen ( zum Beispiel: Dann gilt und . Welche Ordnung hat dann ?


hat dann die Ordnung 6

Dann wird ja von diesem erzeugt oder?

Ich müsste doch dann genau so:

finden, mit Ordnung 45 oder?

weil ordung 3 hat und Ordung 15 hat.

Oder gibts die hier nicht? Dann wäre alles klar!

EDIT: Nein das gibt es nicht, denn das also kann ein Element höchstens Ordnung 15 haben.

also ist nicht zyklisch!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst außerdem noch berücksichtigen. Die ist auch abelsch und von der Ordnung 45.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
Und isomorph zu
Jack Prince Auf diesen Beitrag antworten »

Jap
du hast es. Das kgV war bei der Überlegung wichtig.

Um zu bestimmen wie viele abelschen Gruppen der Ordnung n bis auf Isomorphie existieren, sind 2 Sätze wichtig.
1. Struktursatz über endliche abelsche Gruppen.

Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt von zyklischen Gruppen mit Primzahlpotenzordnung

2:

Also folgt:

Gruppen: 1.
2.

Das sind alle, da

und
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Und isomorph zu


stimmt, sorry. Es ist ja .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute, ich muss das hier noch mal aufgreifen!!!!

Ich hatte jetzt die Aufgabe: Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 360 gibt es?

Primfaktorzerlegung von 360 ist:

Über die Partitionsfunktion erhalte ich gleich: also existieren 6 Isomorphietypen.

Jetzt würde ich die gerne angeben.

1)
2) (hier gilt aber ggT(8,9,5) = 1 also muss ich das nicht angeben

3) (hier gilt aber auch ggT(8,5,3) = 1 das steht aber in der Lösung mit dabei in der Aufzählung

das kgV von (8,3,5) ist 120, also kann die Gruppe nicht zyklisch sein! also muss sie wohl doch dazu, obwohl der ggT = 1 ist.

Gibt es denn einen sinnvollen Weg, wie ich die verschiedenen Isomorphietypen bekomme.. oder muss ich jetzt immer noch das kgV bestimmen??

In der Lösung sieht das so aus, als würde man einfach die Primfaktorzerlegung nach einander ausschreiben, also die Potenzen als Produkte schreiben.

Danke für die Hilfe!!!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Leider liegt hier bei dir ein grundsätzliches Verständnisproblem vor das (wohl auch weils hier ein paar sehr viele Köche gab) von Anfang dieses Threads gibt:
Dir ist nicht klar wann eine Gruppe:

zyklisch ist.
Unter welchen Bedingungen an a und b gilt das?
(Etwas hilft einem hier der eminent wichtige chin. Restsatz weiter.)

Dann kannst wirst du auch sehen, dass deine Gruppen 1) und 2) isomorph sind.
(bzw. direkz über den chin. Restsatz)

Zerlege dein Problem hier in kleinere Teile:
Welche abelschen gruppen der ordnung 8 gibt es?
Welche abelschen gruppen der ordnung 9 gibt es?
Welche abelschen gruppen der ordnung 5 gibt es?
Wie kann man diese Teilantworten zur Antwort der ganzen Frage zusammenbasteln?

Zitat:
In der Lösung sieht das so aus, als würde man einfach die Primfaktorzerlegung nach einander ausschreiben, also die Potenzen als Produkte schreiben.

Ich wenn ich nicht genau verstehe was du damit meinst ist es vermutlich richtig.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

abelsche Gruppen der Ordnung 8:







abelsche Gruppen der Ordnung 9:





abelsche Gruppen der Ordnung 5



Jetzt nehme ich immer aus jedem eines raus, also alle Kombinationen.

Und der ggT interessiert mich nur innerhalb der einzelnen Ordnungen oder?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte tu mir und direinen Gefallen:
Bleib bei deiner ursprünglichen Notation und übernimm nicht die furchtbare von Jackprince hier. ist in meinen Augan nicht endlich:
siehe
Wenn du kein / schreiben willst (wobei man dann gerne die modulo-Struktur vergisst) gibt's in der Gruppentheorie die schöne Notation für die zyklische (engl.:cyclic) Gruppe der Ordnung n.
Aber egal welche Notation du verwendest: Bleibe bei einer, spring nicht dazwischen umher.

Zitat:
Jetzt nehme ich immer aus jedem eines raus, also alle Kombinationen.

Genau.
Und die Auflistung ist vollständig und fehlerfrei.

Zitat:
Und der ggT interessiert mich nur innerhalb der einzelnen Ordnungen oder?

Solange die "einzeknen Ordnung" teilerfremd sind ja.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok tut mir leid, für die Faulheit Gott

Vielen Dank, ich hoffe ich bekomme es jetzt in Zukunft hin!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »