Irreduziblität von Polynomen

10.08.2013, 10:40	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduziblität von Polynomen Meine Frage: Hey Leute, Wenn ich das Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf Irreduziblität testen möchte und eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gefunden habe, also z.B. $\begin{eqnarray} f = gh \end{eqnarray}$ (z.B) bin ich dann schon fertig, weil ich ja eine Zerlegung gefunden habe? Oder muss ich dann diese Faktoren $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ noch untersuchen? Also müssen diese dann auch noch irreduzibel sein? Meine Ideen: In der Def. steht ja irgendwie drin, dass diese $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ nicht invertierbar sein dürfen, aber das hilft mir nicht weiter bzw. verstehe ich nicht! Danke für die Hilfe!
10.08.2013, 11:04	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Genau. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist genau dann nicht irreduzibel, wenn du eine Zerlegung $\begin{eqnarray} f=gh \end{eqnarray}$ gefunden hast. Wichtig dabei ist, dass $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ keine Einheiten (Elemente aus dem Ring, welche multiplikative Inverse besitzen) sein dürfen. Bsp: Jedes lineare Polynom ist irredurzibel. Die einzige Zerlegung, die man angeben kann, ist, dass man eine Konstante ausklammert. Konstanten sind aber Einheiten (angenommen der Polynomring ist über einen Körper gebastelt) Außerdem ist noch zu erwähnen, dass ein irrdeuzibles Element per Definition selbst keine Einheit sein darf. Zum Beispiel ist jedes konstante Polynom nicht irreduzibel. Sofern du nun eine Zerlegung gefunden hast, musst du nur $\begin{eqnarray} g,f \end{eqnarray}$ angeben. Weiter brauchst du das dann nicht untersuchen. Nie mehr machen als gefordert^^.
10.08.2013, 11:20	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
woher weiß ich denn, dass $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ keine Einheiten sind, wenn ich $\begin{eqnarray} f = gh \end{eqnarray}$ gefunden habe? das muss ich ja doch noch prüfen. Verstehe es immer noch nicht ganz! Wenn ich weiß, dass nur die Konstanten die Einheiten sind, dann sehe ich das ja sehr schnell, ob in der Zerlegung eine Einheit vorkommt. Meißtens sind die Polynome aber über $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ gegeben und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ja kein Körper. Was sind denn die Einheiten von $\begin{eqnarray} \mathbb Z [X] \end{eqnarray}$ ? Edit: Ich glaube ich habs jetzt! Die Einheiten von $\begin{eqnarray} \mathbb Z [X] \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \pm = 1 \end{eqnarray}$ Also wenn ich $\begin{eqnarray} f = gh \end{eqnarray}$ habe und $\begin{eqnarray} g,h \neq \pm 1 \end{eqnarray}$ sehe ich ja, dass f reduzibel sein muss!
10.08.2013, 11:36	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. In $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ sind die konstanten Polynome die Einheiten und in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »