Lineare Abhängigkeit mit Parameter |
| 10.08.2013, 13:16 | FeizzZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Abhängigkeit mit Parameter kurz zu mir: Ich studiere BWL im 2 Sem in Münster. Ich habe eine Frage zur Linearen Abhängigkeit. Wenn ich z.B. folgende Vektoren gegeben habe: a= (2,2,-1)^T b=(-3,0,4)^T c(t)= (3+t, t , 2-2t)^T d= (-7,9,-4)^T Das *hoch T bedeutet natürlich transponiert, so wie es sich für Vektorschreibweise "gehört". Wie man sieht ist Vektor c von t abhängig. Ich habe in meinem Mathebuch von Peter Dörsam gelesen, dass man mittels der Cramerschen Regel sowas lösen könnte, indem man den Vektor c(t) in jeweils eine Spalte schreibt und dann alle Determinanten berechnet. Ich hab das schon mehrmals versucht, aber immer kam etwas unrealistisches raus und die Probe passt natürlich auch nicht. Aufgabenstellung ist herauszufinden, wann die Vektoren a, b und c(t) Linear UNabhängig sind. Das kann man ja noch mittels Gauß oder Determinante(einfacher) rausfinden. In meiner Klausur hatte ich eine Aufgabe, wo vier Vektoren Linear abhängig sein sollten, wobei einer der Vektoren einen Parameter hatte(der der Anzupassen war). Also ähnlich wie hier, nur, dass man als Basis drei Vektoren hat, und der Parametervektor sollte "angepasst" werden. Könnt ihr mir mal die Grundsätzliche Vorgehensweise sagen und ob/was man mit der Cramerschen Regel nun berechnen kann? Wichtig ist mir vor allem, die vorgehensweise, wenn Determinante nicht möglich ist. MfG Sebastian |
||||
| 10.08.2013, 19:42 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter Für 3 dreidimensionale Vektoren gilt, dass sie genau dann linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen. Nun kann man den Vektor c(t) auch als Geradengleichung ansehen: Wenn die Gerade g(t)/c(t) nun die von a und b aufgespannte Ebene schneidet, besteht lineare Abhängigkeit. Nach r,s,t zu lösen ist also . Der Wert der für t ermittelt wird, steht dann für lin. Abhängigkeit Alle anderen t für lin. Unabhängigket. |
||||
| 10.08.2013, 22:40 | FeizzZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter Hallo und danke erstmal, was sagst du/ihr zu der Cramerschen Regel? Dann denke ich mal, wenn ich auf der Ebenenseite der Gleichung drei Vektoren habe, dann ist das Prinzip das gleiche? |
||||
| 11.08.2013, 03:21 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter
wenn es diese drei Vektoren sein sollen (?) dann kannst du daraus eine Determinante erstellen. Der Wert ist Null wenn die Vektoren lin. abhängig sind. Da du einen Term in t erhältst, kannst du das sehr genau in Abhängigkeit von t festlegen. Was hat das mit der Regel von Cramer zu tun ? ------------------------ Der Versuch alle 4 Vektoren lin. unabhängig zu machen, brauchst du erst gar nicht anzufangen. |
||||
| 11.08.2013, 13:29 | FeizzZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter Die Cramersche Regel benutzt man, um eindeutig Lösbare LGS Lösungen zu erhalten Dazu gehört ja auch die Aufgabenstellung wie " finde ein t für das Lineare Unabhängigkeit gilt", oder? Ich habe eine neue Aufgabe, an der meine "Problem" sichtbarer wird. Vektoren: a=(2,0,1)^T b=(-1,3,0)^T c=(0,-2,1)^T x(t)=(3t,t+8,-t-2)^T Aufgabenstellung: Der Vektor x(t) kann auf genau eine Weise als Linearkombination aus a, b und c dargestellt werden. Bestimmen sie die Koeffizienten der entsprechenden Linearkombination in Abhängigkeit von t. Muss ich in diesem Fall auch wieder den Vektor x(t) als Gerandengleichung aufsplitten und mit der Ebenengleichung gleichsetzen? Kriege ich in diesem Fall (Variablenüberhang) überhaupt alle Variablen raus, bis auf t (ist ja klar) MfG 
|
||||
| 12.08.2013, 00:58 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter Zu lösen wäre Weil du mehr Variablen (p,r,s,t) als Gleichungen hast, wird es keine eindeutige Lösung geben. Du kannst aber p, r und s durch t ausdrücken. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 12.08.2013, 22:32 | FeizzZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Abhängigkeit mit Parameter Welches Schema sollte ich da am besten ansetzen? Also ich habs mal aufm Stück Papier angefangen, aber ich bin allgemein im Gleichungen lösen schlecht, meistens versuche ich einen Parameter zu isolieren und einzusetzen bis ich keine Gleichungen mehr habe. Muss ich für einen Parameter eine Zahl einsetzen? Das würde das ganze arg erleichtern... Ich steh echt aufm Schlauch 
|
||||
| 20.08.2013, 13:55 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, eine Zahl für einen Parameter einsetzen ist kontraproduktiv. Du kannst so vorgehen, indem du aus den 3 Gleichungen 2 Parameter eliminierst, bis nur noch eine Gleichung in zwei Parametern übrig bleibt. In dieser drückst du nun einen Parameter in dem anderen (z.B. t) aus, dieser andere wird nun so behandelt, als wäre er bekannt (wie eben eine Zahl). Mit Hilfe der anderen beiden Gleichungen werden nun die anderen Parameter ebenfalls in diesem einen Parameter (t) ausgedrückt. Die Lösung erscheint dann beispielsweise in der Form p = p(t) r = r(t) s = s(t) t Es steht darin also nur noch der Parameter t. Um eine partikuläre (einzelne) Lösung zu erhalten, kann man einfach t mit einer beliebigen Zahl belegen. Allerdings ist dies meistens ohnehin nicht gefragt, sondern die einparametrige Lösungsschar (hier in t). mY+ |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
