Gleichung - Ungleichung .. Übergang?

10.08.2013, 13:26

frager212

Gleichung - Ungleichung .. Übergang?

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine ganz allgemeine Frage zu Folgen bzw. Reihen.
Angenommen wir haben eine Reihe oder Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$

Weiter möchte ich dazu eine Ungleichung Beweisen, sei x eine beliebige relle Zahl, und es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} x_{n} < x \end{eqnarray*}$ für alle x

Kann ich, wenn es sich z.B. um einen Induktionsbeweis handel (oder ich es so kreiere) das ganze folgendermaßen manipulieren:

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x - frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ist diese Aussage noch zu der oberen äquivalen, wenn ich sie für alle n beweisen kann?

Meine Ideen:
Ich denke eigentlich ja, aber im Grenzfall wäre 1/n ja im Prinzip gleich Null, deshal bin ich mir nich sicher.

10.08.2013, 13:37

dastrian

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RE: Gleichung - Ungleichung .. Übergang?
Hi!

Also abgesehen davon, dass das alles recht eigenartig beschrieben ist, ist deine Idee vollkommen richtig.

(Kurze Klarstellung: du meinst natürlich hier

Zitat:

x_n < x für alle n

statt "für alle x", denn sonst wären deine Folgeglieder kleiner als jede reelle Zahl und das geht ja gar nicht, da die Folgeglieder ja selber reelle Zahlen sind.)

Beispiel: Du hast eine Folge und aus irgendeinem Grund kannst du leicht beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} x_n < 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für alle n ist.
Dann folgt daraus natürlich insbesondere
$\begin{eqnarray*} x_n < 1 \end{eqnarray*}$ für alle n.
(Die Implikation wird sofort klar, wenn man sich ein konkretes n herauspickt und anschaut x_n anschaut. x_n ist kleiner als 1-1/n ist kleiner als 1, also ist x_n kleiner als 1.)

Das gilt auch für Folgen, die gegen 1 konvergieren. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{n-2}{n} \end{eqnarray*}$

Edit: Du hattest ja nach Äquivalez gefragt; die Umkehrung gilt NICHT!!! Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} x_n = 1 - \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

10.08.2013, 13:45

frager212

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RE: Gleichung - Ungleichung .. Übergang?
Hallo,

sorry ja, es ist natürlich für alle n gemeint und natürlich 1/n.
Allerdings war es schon so gemeint, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x- \frac{1}{n} \forall n <=> x_{n}<x \end{eqnarray*}$

Also eine Ungleichung! Passt es dann auch noch, oder gibts da Probleme? Besonders auch im Grenzfall.

10.08.2013, 13:52

frager212

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RE: Gleichung - Ungleichung .. Übergang?
Habe gerade gesehen, dass die Umkehrung sowieso nicht gilt, dann beschränken wir es nur auf diesen Fall:
$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x- \frac{1}{n} \forall n => x_{n}<x \forall n \end{eqnarray*}$

10.08.2013, 14:08

dastrian

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RE: Gleichung - Ungleichung .. Übergang?
Das gilt natürlich! (die Umkehrung kann nicht gelten, bin auch erst im Edit darauf eingegangen)
Warum ist das so?
Nimm dir irgendein beliebiges n heraus und betrachte x_n. Wann folgt aus
$\begin{eqnarray*} x_n \leq x - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
und natürlich wegen
$\begin{eqnarray*} x - \frac{1}{n} < x \end{eqnarray*}$
sofort
$\begin{eqnarray*} x_n < x \end{eqnarray*}$

Deine Bedenken treffen nur auf einen eventuellen Grenzwert x zu. Es kann durchaus sein, dass du eine Folge x_n mit $\begin{eqnarray*} x_n \leq x - 1/n \end{eqnarray*}$ hast, die gegen x konvergiert.

10.08.2013, 16:20

frager212

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RE: Gleichung - Ungleichung .. Übergang?
Ok Danke! Und wieso ist es kein Problem, dass 1/n mit n gegen unendlich gegen Null konvergiert?
Denn dann wird ja meine Forderung $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x- \frac{1}{n} \forall n \end{eqnarray*}$ zu
$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x-0 \end{eqnarray*}$ (mit n gegen unendlich)
Und damit wäre ja auch der Fall x_n=x möglich. (Was dann der echten Ungleichung im Weg stünde unglücklich

)

10.08.2013, 22:15

Nofeykx

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Und wieso meinst du, dass du einfach so auf der einen Seite einen Limes berechnen kannst und der Rest bleibt einfach unverändert, insbesondere die Ungleichung ?

Dass man das so machen kann fällt irgendwie vom Himmel(und ist falsch).

Falls deine Folge xn gegen x konvergiert, so gilt natürlich, dass der Grenzwert (eben x selber) nicht mehr kleiner, sondern gleich x ist. Dennoch sind alle Folgenglieder xn echt kleiner als x. Der Grenzwert ist ja nicht einfach ein sehr weit hinten liegendes Folgenglied(vielleicht liegt hier das Missverständnis?).

10.08.2013, 22:27

frager212

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Zitat:

Original von Nofeykx
Und wieso meinst du, dass du einfach so auf der einen Seite einen Limes berechnen kannst und der Rest bleibt einfach unverändert, insbesondere die Ungleichung ?

Dass man das so machen kann fällt irgendwie vom Himmel(und ist falsch).

Falls deine Folge xn gegen x konvergiert, so gilt natürlich, dass der Grenzwert (eben x selber) nicht mehr kleiner, sondern gleich x ist. Dennoch sind alle Folgenglieder xn echt kleiner als x. Der Grenzwert ist ja nicht einfach ein sehr weit hinten liegendes Folgenglied(vielleicht liegt hier das Missverständnis?).

Ja, im Kern hast du wohl recht. Man könnte meine Problematik auch auf einen noch einfacheren Fall reduzieren:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 < 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Für alle n. Für den Grenzwert würde dann aber gelten 1 < 1.

Ich weiß deshalb nicht so recht, wie ich mit Ungleichungen und Limiten umgehen kann /darf ...

10.08.2013, 22:58

Nofeykx

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"1 < 1 - 1/n"

Das würde ich nochmal überdenken. Hat das in deinen Überlegungen Probleme gemacht ?

Ich bin jetzt erstmal weg. Schaue morgen das nächste mal vorbei.

10.08.2013, 23:06

frager212

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Ah, die Uhrzeit ist einfach nicht mehr die meine...

Natürlich: "1 < 1 + 1/n"

11.08.2013, 00:30

Nofeykx

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"Ich weiß deshalb nicht so recht, wie ich mit Ungleichungen und Limiten umgehen kann /darf ..."

Nun generell kann man folgendes sagen:
Gilt xn < c für alle n und xn ist konvergent gegen x, dann gilt x <= c.

Hilft dir das ?

11.08.2013, 00:32

Nofeykx

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Allgemeiner sogar:
xn konvergent gegen x, yn konvergent gegen y und xn < yn für alle n, dann folgt x <= y.

11.08.2013, 10:29

frager212

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Aber das finde ich seltsam, man hat eine echte Ungleichung, und im Grenzfall wird daraus eine Kleiner Gleich Gleichung. Wie erklärt sich dies?

11.08.2013, 11:43

dastrian

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Das erklärt sich eben dadurch, dass der Abstand von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ (der ja bei einer echten Ungleichung größer als null ist) beliebig klein werden kann.

Zum Beispiel die Folgen $\begin{eqnarray*} x_n = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n = 1 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Offenbar gilt dann $\begin{eqnarray*} x_n < 1 < y_n \end{eqnarray*}$ für alle n, aber beide Folgen konvergieren gegen 1. Insbesondere gilt also $\begin{eqnarray*} x_n < y_n \end{eqnarray*}$ , aber NICHT $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} x_n < \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \end{eqnarray*}$

Im Übrigen liegt hier auch eine Art Motivation für den Begriff des "abgeschlossenen" Intervalls: Wenn du eine Folge in dem abgeschlossenen Intervall [0,1] hast, die konvergiert, dann liegt dieser Grenzwert auch wieder in [0,1]. Wenn du aber in dem offenen Intervall (0,1) eine Folge hast, die konvergiert*, dann kann dieser Grenzwert auch 0 oder 1 sein, siehe oben die Folge x_n: Alle Folgeglieder liegen in (0,1), aber der Grenzwert nicht, also ist dieses Intervall nicht "abgeschlossen".

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*ganz streng genommen darf man bei Betrachtung von (0,1) als Raum und einer Folge in diesem Raum nicht von Konvergenz (in diesem Raum) sprechen, wenn der Grenzwert in diesem Raum nicht existiert. Konvergenz im eigentlichen Sinn tritt dann erst in der "abgeschlossenen Hülle" auf, und diese ist eben [0,1], aber das alles ist in Analysis 1 noch nicht wirklich relevant.

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