Beta-Fehler, rechnerische Bestimmung

10.08.2013, 14:43

NoraMeh

Beta-Fehler, rechnerische Bestimmung

Meine Frage:
Ich dreh hier gleich ab. Folgende Aufgabe:

Aufgabe 4
Bei einer Großbank werden 1.000.000 Arbeitnehmer-Sparkonten geführt. Eine im Jahre 2001 durchgeführte Untersuchung zeigte, dass die jährliche Sparleistung je Konto im Mittel 800 Eur beträgt bei einer Standardabweichung von 400 Eur und mit großer Annäherung normalverteilt
ist.
Mit einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 1.600 soll im Jahre 2002 die Nullhypothese getestet werden, dass sich die mittlere Sparleistung nicht erhöht hat. Diese Stichprobe bringt eine mittlere Sparleistung von 840 ? und eine Standardabweichung von 400 Eur.

a) Bestimmen Sie für diesen Test (H0: µ kleiner gleich 800) den Annahmebereich der Hypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanz) von alpha = 1%.
b) Angenommen, Sie testen mit denselben Parametern die Hypothese H0 (Sparleistung nicht größer geworden) gegenüber der Hypothese H1, dass die Sparleistung auf 835 Eur gestiegen ist: Wie groß wäre dann der Beta?Fehler?

Meine Ideen:
Die Lösungen von meinem Prof liegen vor, die sehen so aus:

Aufgabe 4 - Sparkonten Großbank

a)
H0: µ kleiner gleich 800
H1: µ größer 800
Für alpha = 0,01 liegt der kritische (einseitige) Wert bei zc = 2,33
Sigma (mit Hütchen und x mit Strich drauf im Index) = 10,0031
zb = 3,99875
|zb| > |zc| => Hypothese muss abgelehnt werden!
Schadenshöhe hat sich im Durchschnitt erhöht.

b)
zc = 2,33
=> absoluter Grenzwert von Xc = 823,31
Auf die Normalverteilung um µ = 835 übertragen, entspricht das einer standardisierten Abweichung von zc = -1,1689
Entspricht einem beta-Fehler (Typ Q) von 12,1%

Also a) kann ich bis auf eine Kleinigkeit nachvollziehen. Was ist das sigma mit Hütchen und x mit Strich drauf im Index? Wenn ich a) rechne, brauche ich diesen seltsamen Wert gar nicht und komme trotzdem aufs richtige Ergebnis. Rein nach dem Zeichen ist ja anzunehmen, es sei die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts. Leider weiß ich gar nicht wie ich die ausrechne...und zum Lösen der Aufgabe brauchte ich sie auch nicht, ich habe seine Standardabweichung genommen die mit s angegeben ist.

Bei b) hört es dann völlig auf, hier habe ich nicht mal einen Ansatz.

Zu sagen wäre noch, dass wir in diesem Fach und für die Klausur ausschließlich die Normalverteilungstabelle benutzen dürfen.

11.08.2013, 00:54

Dopap

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a.)

es gilt wohl: $\begin{eqnarray*} z_b=\frac {840-\mu}{\hat \sigma_{\overline x}} \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn die Aufgabe a.) explizit gerechnet ?

-----------------

edit: laut wikipedia ist $\begin{eqnarray*} \hat \sigma_{\overline x} \end{eqnarray*}$ ein Schätzwert (!) für die Standardabweichung des gemessenen Mittelwertes $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$

11.08.2013, 02:27

Dopap

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die Standardabweichung des gemessenen Mittelwertes ist $\begin{eqnarray*} \sigma_{\overline x}=\frac {400}{\sqrt{1600}} =10 \end{eqnarray*}$ , so wird der berechnet.

ein Schätzwert ist nicht notwendig, da schon vorgegeben, ausserdem ist n =1600 ausreichend gross.

Irgendwer nimmt es hier penibel genau mit dem $\begin{eqnarray*} \hat\sigma_{\overline x}=10.0031 \end{eqnarray*}$ wobei mir nicht klar ist, ob das bei der Vorgabe korrekt ist.

Bei kleinem n gibt es einen Unterschied zwischen der Standardabweichung der Stichprobe und der daraus folgendem Schätzwert der Standardabweichung der Grundgesamtheit.

----------------------------
edit: ich schau mir heute noch (Sonntag) Aufgabe b.) an
das kann aber auch spät werden. Vllt sind auch dann andere posts da.

11.08.2013, 20:59

Dopap

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b.) der $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ -Fehler entsteht, wenn fälschlicherweise die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl in Wirklichkeit die Alternativhypothese stimmt. Also

$\begin{eqnarray*} \beta = P(H_0 \text{wird angenommen}|H_1 \text{ist wahr}) = p(\overline x_1 \leq 823.3 | \mu_1=835 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta = N(\mu_1,\sigma_{\overline x},\mu+z_c \sigma_{\overline x})=\Phi (\frac {823.3-835}{10})=\Phi(-1.169)\approx 0.121 \end{eqnarray*}$

12.08.2013, 15:18

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
...
Irgendwer nimmt es hier penibel genau mit dem $\begin{eqnarray*} \hat\sigma_{\overline x}=10.0031 \end{eqnarray*}$ wobei mir nicht klar ist, ob das bei der Vorgabe korrekt ist.
...

kann sich jemand einen Reim darauf machen ?

12.08.2013, 15:47

Huggy

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Eine Rückwärtsanalyse ergibt, dass 400 offenbar die unkorrigierte, d.h. die mit dem Faktor 1/n berechnete, Standardabweichung der Stichprobe war. Um einen Schätzwert für die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu bekommen, hat er das auf den Faktor 1/(n-1) umgerechnet. Der Korrekturfaktor ist also

$\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {n}{n-1}}=\sqrt {\frac {1600}{1599}} \approx 1.00031 \end{eqnarray*}$

12.08.2013, 16:52

Dopap

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ja, besten Dank Huggy!

Da fragt man sich schon, ob das sein muss. Jetzt hat der Threadsteller hoffentlich Klarheit , aber der hat wohl schon aufgegeben.
Egal, so kann der Thread wenigstens ordentlich ins Archiv Augenzwinkern

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