Parameterdarstellung von Verbindungsgeraden bestimmen

10.08.2013, 19:40

Bleistift12

Parameterdarstellung von Verbindungsgeraden bestimmen

Hallo zusammen

vorweg: sry ein besserer Titel fiel mir einfach nicht ein. Hammer

Es geht um diese Aufgabe:

Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Punkten:

A(3 | 2 | -1), B(4 | -3 | -2), C(-3 | -4 | 2), D(-1 | -4 | -2)

a) Geben Sie jeweils Parameterdarstellungen der Verbindungsgeraden benachbarter Seitenmitten an.

b) Zeichnen Sie das Viereck ABCD sowie die Seitenmitten in ein x-y-z-Koordinatensystem. Was fällt Ihnen auf?

Meine Ideen:
..................
Leider überhaupt keine. unglücklich

Lediglich gezeichnet habe ich das Ding schon (Siehe Anhang)

Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte! smile

10.08.2013, 20:33

Bjoern1982

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Warum denn gleich so viele Bilder, das Bild links oben hätte doch völlig gereicht. Augenzwinkern

Für Mittelpunkte gibt es z.B. eine Formel, die du leicht ergoogeln könntest.
Ansonsten natürlich auch vektoriell, indem man an den einen Eckpunkt die Hälfte des Verbindungsvektors zweier Eckpunkte dranhängt.

11.08.2013, 20:50

Bleistift12

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Eine Formel habe ich zum Mittelpunkt bestimmen gefunden*, aber ist das "schon" alles? Werde aus der Aufgabe leider nicht schlau.

* $\begin{eqnarray*} OM = \frac{1}{2} (OA + OB) \end{eqnarray*}$

11.08.2013, 20:54

Bjoern1982

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Sobald du die ganzen Mittelpunkte hast, kannst du damit ja die entsprechenden Geraden in Parameterform aufstellen.

11.08.2013, 21:35

Bleistift12

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Ahh okay. Dann versuch ich das mal:

Für AB (a):
$\begin{eqnarray*} OM = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} 3 \\2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3,5 \\ -0,5 \\ -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für BC (b):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5 \\ -3,5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mal abgekürzt:

CD (c): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

DA (d): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mit "Verbindungsgeraden benachbarter Seitenmitten" ist nun z.B. eine Geraden zwischen c und b und d und a gemeint?

Hab jetzt also die Punkte:

A(3,5 | -0,5 | -1,5)
B(0,5 | -3,5 | 0)
C(-2 | -4 | 0)
D(1 | -1 | -1,5)

Für eine Gerade zwischen c und b würde ich nun mit B und C rechnen:
s = C-B
s = (-2,5 | -0,5 | 0)

g:x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5 \\ -3,5 \\ 0\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -2,5 \\ -0,5 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun das selbe nochmal mit den Punkten A und D für die Verbindungsgerade zwischen d und a ?

11.08.2013, 22:10

Bjoern1982

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Das ist soweit schon mal prima. Freude

Bedenke nur, dass es genau vier solcher Verbindungsgeraden gibt (durch a und b, b und c, c und d, d und a)

11.08.2013, 22:34

Bleistift12

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Hmm.. Also auch die enfernt "benachbarten" ... Nagut. ^^

Nun bleibt mir noch eine Frage: "Was fällt Ihnen auf?"

Wenn ich mir die Abbildung anschaue, fällt mir leider nix auf. unglücklich

Außer, - wie in Bild 3 zu sehen - dass man das ganze so drehen kann, dass die Punkte B u. D und die Seitenmittelpunkte deckungsgleich sind.

12.08.2013, 00:54

Bjoern1982

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Joa das ist natürlich auch ein bisschen Ratespielchen, was da jetzt genau gehört werden will.

Vielleicht sollst du das Viereck ABCD und das Viereck durch die Mittelpunkte miteinander vergleichen.
Dabei könntest du evtl mit den Begriffen konvex, konkav oder komplanar arbeiten...

12.08.2013, 01:38

opi

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Zitat:

Original von Bleistift12
Wenn ich mir die Abbildung anschaue, fällt mir leider nix auf. unglücklich

Dann zeichne auch mal die angesprochenen Verbindungsgeraden ein und überprüfe Deinen Verdacht mit einem scharfen Blick auf deren Richtungsvektoren.

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